אליפסה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

אליפסה היא צורה גאומטרית במישור שאפשר לתארה באופן אינטואיטיבי כמעגל פחוס היוצר צורה של ביצה סימטרית. ההגדרה המדויקת של אליפסה היא כדלהלן:

אליפסה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות הוא קבוע. שתי הנקודות הקבועות נקראות מוקדי האליפסה.

אם נעביר ישר דרך מוקדי האליפסה, הוא יחתוך אותה בנקודות A ו-B. נבנה אנך אמצעי לקטע AB אשר יחתוך את האליפסה בנקודות C ו-D. אזי הקטע AB נקרא הציר הראשי של האליפסה, והקטע CD נקרא הציר המשני של האליפסה.

[עריכה] משוואות האליפסה

את האליפסה ניתן לתאר בצורה אלגברית, באמצעות התורה של הגאומטריה האנליטית. בגישה זו אנו מתארים את האליפסה כעקומה בקואורדינטות קרטזיות כאשר כל נקודה מיוצגת על ידי הזוג הסדור (x,y).

נניח שלאליפסה יש ציר ראשי באורך 2a וציר משני באורך 2b. אזי משוואת האליפסה הקנונית (כלומר, אליפסה שצירה הראשי מתלכד עם ציר ה-x וצירה המשני מתלכד עם ציר ה-y, ושניהם נפגשים בראשית) היא:

$\frac {x^2} {a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

מוקדי אליפסה זו, יהיו $(\sqrt{a^2-b^2}, 0), (-\sqrt{a^2-b^2}, 0)$ כלומר, האליפסה היא אוסף כל הנקודות (x,y) שמקיים את המשוואה הזו. הצגה פרמטרית של אותה אליפסה היא:

$x = a\,\cos t$

$y = b\,\sin t$

$0 \leq t < 2\pi$

אם המרחק בין שני מוקדי האליפסה הוא 2c, אזי היחס $\ \epsilon = c/a$ נקרא האקסצנטריות של האליפסה. $\ \epsilon$ הוא מספר בין 0 ל-1; ככל ש- $\ \epsilon$ יותר קרוב ל-0 האליפסה יותר מעגלית, וככל ש- $\ \epsilon$ יותר קרוב ל-1 האליפסה יותר צרה. דרך נוספת לבטא את האקסצנטריות של האליפסה היא:

$\ \epsilon = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$

השטח של האליפסה הוא πab.

[עריכה] משוואת האליפסה הכללית

משוואת אליפסה כללית, שמוקדיה הם $(x 1, y 1),(x 2, y 2)$ , וסכום המרחקים של כל נקודה מהמוקדים $R$ , היא

$\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}=R$

אורך צירה הראשי, יהיה $R$ , שיפועו (כאשר $x_1\ne x_2$ ), יהיה $m_1=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ , וקצותיו: $(\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{R}{2\sqrt{1+m_1^2}}, \frac{y_1+y_2}{2}+\frac{{m_1}R}{2\sqrt{1+m_1^2}}), (\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{R}{2\sqrt{1+m_1^2}}, \frac{y_1+y_2}{2}-\frac{{m_1}R}{2\sqrt{1+m_1^2}})$

המרחק בין המוקדים, יהיה, ע"פ משפט פיתגורס, $d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
אורך הציר המשני, יהיה $\sqrt{R^2-d^2}$ , שיפועו (כאשר $y_1\ne y_2$ ), יהיה $m_2=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}$ , וקצותיו:

$\ (\frac{x_1+x_2}{2}+\frac{\sqrt{R^2-d^2}}{2\sqrt{1+m_2^2}}, \frac{y_1+y_2}{2}+\frac{{m_2}\sqrt{R^2-d^2}}{}{2\sqrt{1+m_2^2}})$

$\ (\frac{x_1+x_2}{2}-\frac{\sqrt{R^2-d^2}}{}{2\sqrt{1+m_2^2}}, \frac{y_1+y_2}{2}-\frac{{m_2}\sqrt{R^2-d^2}}{}{2\sqrt{1+m_2^2}})$

[עריכה] אליפסה בפיזיקה

אליפסה היא אחד מחתכי החרוט והיא מופיעה כפתרון של לא מעט בעיות בפיזיקה.

בהתאם לחוקי קפלר מסלולו של כוכב לכת מהווה אליפסה, כשהשמש נמצאת באחד משני המוקדים של האליפסה.

בהתאם לחוקי השבירה של האור, קרן אור היוצאת ממוקד של האליפסה (בכיוון כלשהו) ופוגעת בהיקף האליפסה, תוחזר אל המוקד השני. הקול מוחזר על-פי כללי החזרה זהים. תכונה זו של האליפסה באה לידי ביטוי באחד מספריו של קרל מאי, שבו התכנסו מנהיגי האינדיאנים בעמק שצורתו אליפסה, וקיימו את פגישתם הסודית באחד ממוקדי האליפסה. יד הנפץ, ששם לב לכך, הלך למוקד השני והאזין לשיחתם, שהועברה אליו בצורת הד, מבלי שהם ירגישו בכך.

מקור: http://he.wikipedia.org../../../%D7%90/%D7%9C/%D7%99/%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%A4%D7%A1%D7%94.html

קטגוריות: גאומטריה | חתכי חרוט