Elipsa

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Elipsa je uzavřená křivka v rovině. Všechny body elipsy mají stejný součet vzdáleností od dvou pevně zvolených bodů — ohnisek.

Úsečku spojující libovolný bod na elipse s ohniskem nazýváme průvodič (viz druhý Keplerův zákon). Spojíme-li ohniska úsečkou, její střed je střed elipsy. Nejdelší spojnice středu elipsy a bodu na elipse se nazývá velká poloosa nebo též hlavní poloosa. Nejkratší taková spojnice je malá poloosa nebo vedlejší poloosa.

[editovat] Rovnice

Rovnici elipsy lze zapsat v různých tvarech.

[editovat] Kanonický tvar

Kanonický tvar rovnice elipsy v normální poloze (tzn. hlavní osa je rovnoběžná s osou $x$ a střed má souřadnice $[x 0, y 0]$ ) je

$\frac{{(x-x_0)}^2}{a^2}+\frac{{(y-y_0)}^2}{b^2}=1$

V kartézských souřadnicích lze v normální poloze elipsu se středem v počátku vyjádřit rovnicí

$\left({x\over a}\right)^2+\left({y\over b}\right)^2 = 1\,$ ,

kde a je délka hlavní poloosy, b je délka vedlejší poloosy a $[x, y]$ jsou souřadnice libovolného bodu elipsy. Veličina $e = \sqrt{a^2-b^2}$ se nazývá excentricita elipsy (výstřednost) a vyjadřuje vzdálenost ohniska od středu elipsy.

[editovat] Vrcholová rovnice

Vrcholová rovnice elipsy má tvar

$y^2 = 2px - \frac{p}{a}x^2$ ,

kde $p = \frac{b^2}{a}$ je tzv. parametr elipsy. Tato rovnice vyjadřuje elipsu, jejíž hlavní vrchol leží v počátku souřadné soustavy a hlavní osa je rovnoběžná s osou $x$ .

[editovat] Rovnice kuželosečky

Z rovnice kuželosečky lze získat rovnici elipsy v normální poloze, pokud jsou splněny následující podmínky

$\sgn a_{11} = \sgn a_{22} = \sgn (a_{22} a_{13}^2 + a_{11} a_{23}^2 - a_{11} a_{22} a_{33})$

a 12 = 0

| a 11 | < | a 22 |

Elipsa zadaná rovnicí kuželosečky splňující uvedené podmínky má hlavní poloosu o délce

$a = \sqrt{\frac{a_{22}a_{13}^2+a_{11}a_{23}^2-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{11}^2 a_{22}}}$

Délka vedlejší poloosy je

$b = \sqrt{\frac{a_{22}a_{13}^2+a_{11}a_{23}^2-a_{11}a_{22}a_{33}}{a_{22}^2 a_{11}}}$

Střed elipsy má souřadnice

$\left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]$

[editovat] Parametrické rovnice

Elipsu lze vyjádřit parametrickými rovnicemi

$x = a\,\cos t$

$y = b\,\sin t$

kde $t\in\langle 0,2\pi)$ je tzv. excentrická anomálie.

[editovat] Rovnice v polárních souřadnicích

V polárních souřadnicích lze v případě, že ohnisko $F 2$ leží v počátku souřadnicové soustavy a polární osou je polopřímka $F 2 B$ psát rovnici elipsy ve tvaru

$\rho = \frac{p}{1+\varepsilon\cos\varphi}$ ,

kde $\varepsilon = e/a < 1$ je tzv. číselná excentricita a $p$ je parametr elipsy. Číselná excentricita vyjadřuje míru zploštění elipsy, míru odlišnosti od kružnice. Má smysl ji porovnávat i pro různě velké elipsy. Geometrický význam parametru je polovina délky tětivy vedené ohniskem kolmo na hlavní osu.

Pokud v počátku souřadnicové soustavy leží střed elipsy a polární osou je polopřímka $S B$ , pak dostáváme rovnici

$\rho^2 = \frac{b^2}{1-\varepsilon^2 \cos^2 \varphi}$

pro $\varepsilon<1$ .

[editovat] Geometrické vlastnosti elipsy

O elipse říkáme, že je v normální poloze, je-li její hlavní osa rovnoběžná s osou $x$ nebo $y$ .

Elipsu řadíme mezi kuželosečky, protože ji lze zkonstruovat jako řez rotační kuželové plochy rovinou. Rovina řezu není kolmá k ose kužele, neprochází jeho vrcholem a rovina s ní rovnoběžná vedená vrcholem nemá s kuželem žádný společný bod.

Odrazová vlastnost elipsy: Máme-li eliptické zrcadlo a v jednom ohnisku zdroj světla, všechny paprsky se podle zákona odrazu odrazí do jediného bodu — druhého ohniska. Žádná jiná křivka nemá tuto vlastnost, takže ji lze použít jako alternativní definici elipsy.

Obsah plochy ohraničené elipsou lze určit ze vzorce

$S = \pi a b \,,$

kde a,b jsou poloosy a $π$ je Ludolfovo číslo.

Obvod (délku elipsy) lze určit jen pomocí přibližných vzorců

$o \approx \pi \left[{{3\over 2}\left(a+b\right) - \sqrt{ab} }\right]\,,$

$o \approx {\pi\over 2} \left[{a + b + \sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\right]$

nebo částečným součtem nekonečné řady

$o = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2\varepsilon^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{\varepsilon^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{\varepsilon^6\over5} - \dots}\right]\,.$

Speciálním případem elipsy je kružnice, u které obě ohniska splývají. Excentricita je pak nulová, obě poloosy stejně dlouhé a říkáme jim poloměr.

Limitním případem elipsy je parabola, kterou lze chápat jako elipsu s jedním nevlastním ohniskem.

[editovat] Elipsa ve fyzice

Johannes Kepler objevil, že planety se kolem Slunce pohybují po elipsách s malou excentricitou. To je první Keplerův zákon. Později Isaac Newton vysvětlil tento fakt jako důsledek zákona gravitace.

[editovat] Podívejte se také na

Citováno z „http://cs.wikipedia.org../../../e/l/i/Elipsa.html“

Kategorie: Rovinné geometrické útvary | Křivky

We provide Linux to the World