Елипса
от Уикипедия, свободната енциклопедия
- За стилистичната фигура вижте Елипса (литература)
Елипса (от гр. έλλειψη - липса) в геометрията е геометрично място на точки M, за които сумата от разстоянията до две дадени точки F1 и F2 (наречени фокуси) е постоянно, т. е.
- | F1M | + | F2M | = C.
Окръжността е частен случай на елипса, когато двата фокуса съвпадат. Разстоянието | F1F2 | се нарича фокално разстояние, а отношението ε = | F1F2 | / C - ексцентрицитет. Ексцентрицитетът характеризира разтеглеността на елипсата - колкото ексцентрицитетът е по-близък до 0, толкова елипсата по-наподобява окръжност, и обратното - колкото ексцентрицитетът е по-близък до 1, толкова тя е по-издължена.
Елипсата е вид конично сечение: ако един конус бъде пресечен от равнина, която не пресича основата на конуса и не е успоредна на него, то сечението на конуса и равнината е елипса.
Частта от правата, минаваща през двата фокуса и ограничена от елипсата, се нарича голяма ос. Голямата ос е най-дългата отсечка, която свързва 2 точки от елипсата. Правата, която минава през центъра (по средата между фокусите) и сключва прав ъгъл с главната ос, се нарича малка ос. Голямата полуос е половината от главната ос и започва от центъра, минава през фокус и стига до точка от елипсата. Аналогично малката полуос е половината от малката ос.
Съдържание |
[редактиране] Параметрично уравнение на елипса
Размерът на елипсата се определя от две константи, условно означени с a и b, където a е дължината на главната полуос, а b - на малката полуос.
Елипса, на която центърът е в началото на координатната система x-y и е с главна ос по оста x, се определя от каноничното уравнение
Следната графика демонстрира Питагоровата теорема a² = b² + c² като специален случай на непараметричното уравнение по-долу за (x = 0, y = b).
Същата елипса може да бъде представена чрез параметричните уравнения:
където се използват тригонометричните функции синус и косинус.
Ако елипсата не е с център началото на координатната система, но отново главната й ос е по-оста x, тя може да бъде описана с уравнението
където (h,k) са координатите на центъра.
[редактиране] Ексцентрицитет
Формата на елипсата се изразява с число, наречено ексцентрицитет на елипсата, означавано с e. Ексцентрицитетът се свързва с a и b чрез равенството
където c (линейният екцсентритет на елипсата) е равен на разстоянието от центъра до който и да е от фокусите
Ексцентрицитетът е положително число между 0 (в частния случай на окръжност) и 1. Колкото е по-голям ексцентрицитетът, толкова е по-голямо отношението на a към b, и следователно елипсата е по-издължена. Разстоянието между фокусите е 2ae.
[редактиране] Странична полуправа и полярни координати
Страничната полуправа на елипса, обикновено отбелязвана с l (малка буква L), е перпендикулярната на главната ос отсечка от фокус на елипсата до самата елипса. Връзката между него и a и b се изразява чрез формулата al = b2.
Елипса, на която единият от фокусите е в центъра на координатната система, а другият лежи върху отрицателната част на абсцисата, се разглежда в полярни координати с помощта на следното уравнение:
Елипсата може да бъде разглеждана и като проекция на окръжност: окръжност върху равнина, наклонена под ъгъл φ спрямо хоризонтална равнина, проектирана перпендикулярно върху нея, ни дава елипса с ексцентрицитет sin φ, при φ различно от 90°.
[редактиране] Площ
Лицето на фигурата, заключена от елипсата, е 
,
[редактиране] Обиколка
Обиколката на елипсата е 4aE(e), което не може да бъде изразено с проста функция. E в случая е пълен елиптичен интеграл от втори род.
Точното решение за изразяване на обиколката на една елипса е безкраен ред:
![c = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,](../../../math/3/a/5/3a5fb82f0764730745c32ab336a45bea.png)
Добро приближение, дадено от Рамануджан:
![c \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,](../../../math/0/f/b/0fbb2642005dd44d5e44f23e106a95db.png)
където a и b са съответно голямата и малката полуоси.
Горното може да бъде изписано и като:
![c \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,](../../../math/e/a/0/ea05145a94fcd2eee84b7bec0dacdca8.png)
[редактиране] Свойства като отражател
Ако имаме елипсовидно огледало с източник на светлина в един от фокусите, тогава всички лъчи ще се отразяват към един точка - вторият фокус. Тъй като няма друга крива с това свойство, то може да бъде използвано като алтернативна дефиниция на елипса.
[редактиране] Елипса във физиката
Йоханес Кеплер открива, че орбитите, които планетите описват около Слънцето, са с форма на елипса. Това е и Първият закон на Кеплер. По-късно Исак Нютон обяснява, че този факт е естествен резултат от неговия Закон за всемирното привличане.
[редактиране] Елипсите в компютърната графика
[редактиране] Вижте също
- Елипсоид
- Сфероид, -елипсоид, получен при въртенето на елипса около някоя от осите й.
- Хипербола
- Парабола
- Орбита
[редактиране] Литература
- И. Бронштейн , Эллипс, Квант, № 9, 1970.-на руски
| ВНИМАНИЕ: Тази статия се нуждае от частичен или цялостен превод. Ако имате познания по използвания език, не се колебайте! Благодарим Ви, че помагате на Уикипедия! |
