משפט פיתגורס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

משפט פיתגורס, מהנודעים שבמשפטי הגאומטריה, נקרא על שמו של הפילוסוף והמתמטיקאי היווני פיתגורס, שחי במאה ה-6 לפנה"ס, למרות שהמשפט היה ידוע למעשה עוד לפניו בבבל, במצרים ובסין.

ניסוח המשפט: סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. (הניצבים הם שתי צלעות הזווית הישרה, והיתר הוא הצלע הנותרת).

בהינתן שאורכי הניצבים הם $\ a$ ו- $\ b$ ואורך היתר הוא $\ c$ אזי ניתן לרשום את המשפט: $\ a^2+b^2=c^2$ .

נכון גם המשפט ההפוך, הקובע שמשולש שבו ריבוע צלע אחת שווה לסכום ריבועי הצלעות האחרות, הוא ישר זווית.

משפט פיתגורס והמשפט ההפוך לו הם המשפטים האחרונים, שמספרם 47 ו-48, בכרך הראשון של ספרו הנודע של אוקלידס, "יסודות".

למשפט התפרסמו הוכחות רבות. אחת מהן חוברה בידי נשיא ארצות הברית, ג'יימס גרפילד.

במשפט פיתגורס ובהוכחות שניתנו לו יש יופי רב, אך אין זה משפט תאורטי בלבד. המשפט שימושי בכל מקרה שבו יש לחשב אורך של צלע במשולש ישר זווית על-פי אורכי שתי הצלעות האחרות. שימושים יומיומיים במשפט זה יושמו עוד לפני שפיתגורס ניסח אותו, כפי הנראה לאחר שהתקבלו ממקורות מצריים.

הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו היא משפט הקוסינוסים.

משפט פיתגורס עוסק בגאומטריה, אך רישומו בצורה $\ a^2+b^2=c^2$ וחיפוש שלושה מספרים שלמים המקיימים משוואה זו הוא בעיה בתורת המספרים. שלושה מספרים כאלה קרויים שלשה פיתגורית, והוכח שיש אינסוף שלשות כאלה. הכללה מפורסמת של בעיה זו היא המשפט האחרון של פרמה.

[עריכה] הוכחה לדוגמה

נבנה ארבעה משולשים ישרי זווית החופפים למשולש הנבדק כך שייצרו ריבוע שכל אחת מצלעותיו שווה לסכום ניצבי המשולש. המרובע הפנימי הוא ריבוע, משום שכל זווית שלו משלימה ל- 180 מעלות את סכום שתי הזוויות הקטנות במשולש, שהוא לפי ההנחה ישר זווית.