Triangolo

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In matematica, il triangolo è un poligono con tre vertici la cui somma degli angoli interni nella geometria piana è sempre uguale a 180°. Esso rappresenta anche il poligono più semplice in quanto 3 è il numero minimo di lati necessari per delimitare un’area chiusa di superficie.

Il triangolo che solitamente viene illustrato nei testi scolastici, in cui vengono anche riportate le formule, e che solitamente immaginiamo, viene descritto con la somma degli angoli sempre uguale a 180° (angolo piatto); è bene precisare, però, che si fa riferimento alla sola figura piana, ovvero quella che, sviluppatasi nella storia, viene chiamata geometria euclidea – le cui basi sono state poste dal matematico greco Euclide – in contrasto ad altri tipi di geometria sferica o iperbolica, dove la somma degli angoli risulta invece rispettivamente superiore o inferiore a 180°.

[modifica] Caratteristiche

In ogni triangolo valgono le seguenti proprietà:

• la somma degli angoli interni è uguale ad un angolo piatto (180°);
• ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti;
• almeno due angoli interni sono acuti;
• non è possibile che più di un angolo interno sia retto od ottuso;

Due triangoli sono congruenti se soddisfano almeno uno dei criteri di congruenza.

Due triangoli si dicono simili se soddisfano almeno uno dei criteri di similitudine.

[modifica] Tipi di triangolo

I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza dei lati:

• In un triangolo equilatero tutti i lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo equilatero è anche equiangolare, ovvero i suoi angoli interni sono tutti pari a 60°.
• In un triangolo isoscele due lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo isoscele ha anche due angoli interni uguali.
• In un triangolo scaleno tutti i lati hanno lunghezze differenti. Gli angoli interni di un triangolo scaleno sono tutti differenti.

Equilatero	Isoscele	Scaleno

I triangoli possono essere classificati anche in base alle dimensioni del loro angolo interno più ampio; sono descritti di seguito usando i gradi d'arco.

• Un triangolo rettangolo (o triangolo retto) ha un angolo interno di 90° (un angolo retto). Il lato opposto all'angolo retto è detto ipotenusa; è il lato più lungo del triangolo rettangolo. Gli altri due lati del triangolo sono detti cateti.
• Un triangolo ottusangolo (o triangolo ottuso) ha un angolo interno maggiore di 90° (un angolo ottuso).
• Un triangolo acutangolo (o triangolo acuto) ha tutti gli angoli interni minori di 90° (tre angoli acuti).

Rettangolo	Ottusangolo	Acutangolo

[modifica] Triangolo degenere

Se un triangolo ha due angoli di 90° (un lato ha misura nulla) oppure ha un angolo di 180° (un lato misura quanto la somma degli altri due), pur restando formalmente un triangolo viene definito degenere; graficamente non assomiglia ad un triangolo comune ma ad un segmento.

[modifica] Punti Notevoli

Ad ogni triangolo sono associati vari punti, ciascuno dei quali svolge un ruolo che, per qualche aspetto, lo qualifica come centrale per il triangolo stesso. Definiamo concisamente questi punti riferendoci ad un triangolo T i cui vertici denotiamo con A, B e C e i cui lati opposti denotiamo rispettivamente con a, b e c.

• ortocentro di T è l'intersezione delle sue altezze;
• baricentro (geometria) o centroide di T è l'intersezione delle sue mediane;
• incentro di T è l'intersezione delle sue tre bisettrici, ovvero il centro dell'incerchio di T;
• circocentro di T è il centro della sua circonferenza circoscritta;
• excentro di T opposto a un suo vertice A è l'intersezione della sua bisettrice in A e delle due bisettrici esterne relative ai due vertici rimanenti B e C;
• punto di Bevan di T è il circocentro del triangolo excentrale di T;
• punto di Apollonio di T è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un vertice A di T con il punto nel quale l'excerchio di T opposto ad A è tangente al cerchio tangente ai tre excerchi di T;
• punto di Gergonne di T è l'intersezione dei tre segmenti che rispettivamente uniscono un vertice A di T con il punto nel quale il lato di T opposto ad A è tangente dell'incerchio di T;
• punto di Nagel di T è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di T con il punto nel quale il suo lato opposto è tangente del corrispondente excerchio;
• punto di Fermat di T è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice A di T con il vertice non appartenente a T del triangolo equilatero uno dei cui lati è il lato a opposto ad A ed esterno a T;
• punto di Napoleone di T è l'intersezione dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice A di T con il centro del triangolo equilatero uno dei cui lati è il lato a opposto ad A ed esterno a T;
• centro dei nove punti di T è il centro del cosiddetto cerchio dei nove punti di T; questi nove punti comprendono i tre punti medi dei lati di T, i tre piedi delle altezze di T, i punti medi dei tre segmenti ciascuno dei quali unisce un vertice di T con l'ortocentro di T.

[modifica] Formulario

[modifica] Formule geometriche

[modifica] Area

L'area di un triangolo è la metà di un rettangolo avente la stessa base (b) e la stessa altezza (h), come da figura, ovvero è uguale al semiprodotto di un generico lato per la relativa altezza.

Il triangolo viene trasformato in un parallelogramma con area doppia rispetto a quella del triangolo, quindi in un rettangolo

Formula di Erone

Con la formula di Erone è possibile calcolare l'area conoscendo solo le misure dei tre lati, nella formula seguente s rappresenta la metà del perimetro.

[modifica] Perimetro

P = a + b + c

[modifica] Altezza del lato X

[modifica] Formule trigonometriche

Si applica la trigonometria per trovare l'altezza h

L'area di un triangolo può essere trovata per via trigonometrica. Usando le lettere della figura a destra, l'altezza h = a sen γ. Sostituendo questo nella formula trovata precedentemente (per via geometrica), S = ½ab sen γ. L'area di un triangolo è quindi anche uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso.

L'area di un parallelogramma è infatti ab sen γ.

[modifica] Formule analitiche

Date le coordinate dei vertici di qualunque triangolo sul piano cartesiano

[modifica] Voci correlate

• Classi di similitudine dei triangoli
• Determinazione del triangolo

[modifica] Collegamenti esterni

• (EN) Triangle in MacTutor
• (EN) Triangle Calculator - solves for remaining sides and angles when given three sides or angles, supports degrees and radians.
• (EN) Napoleon's theorem A triangle with three equilateral triangles. A purely geometric proof. It uses the Fermat point to prove Napoleon's theorem without transformations by Antonio Gutierrez from "Geometry Step by Step from the Land of the Incas"
• (EN) William Kahan: Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle.
• (EN) Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 1600 interesting points associated with any triangle.
• (EN) Christian Obrecht: Eukleides. Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.
• (EN) Triangle constructions, remarkable points and lines, and metric relations in a triangle at cut-the-knot
• (EN) Printable Worksheet on Types of Triangles
• (EN) Compendium Geometry Analytical Geometry of Triangles