Trekant

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

En rettvinklet trekant hvor hypotenus og katet er vist.

En trekant er en geometrisk figur bestående av tre linjestykker - trekantens sider - som parvis er koblet sammen i endene, som da utgjør trekantens hjørner. Summen av de indre vinklene i en trekant er alltid 180° eller π radianer.

[rediger] Typer trekanter

I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60°.
I en likebent trekant er to av sidene like lange. Begge vinklene mellom disse to sidene og grunnlinjen vil være like store.
I en rett trekant er den ene vinkelen 90°. Siden som er motstående til den rette vinkelen kalles en hypotenus og de to andre for kateter.

[rediger] Grunnleggende fakta

Trekanten ble beskrevet av Euklid i omkring år 300 f.Kr., og er et tilfelle av et polygon og 2-simpleks.

To trekanter ligner dersom alle deres vinkler er parvis like. Lengden på sidene er da proporsjonale. Ved hjelp av en rettvinklet trekant kan man definere de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus.

Et kjent teorem angående trekanter er Pythagoras læresetning, som definerer sammenhengen mellom lengdene til sidene i rette trekanter. Gitt sidene a, b og c i en rettvinklet trekant, der c er en hypotenus er

c 2 = a 2 + b 2

Læresetningen kan dog generaliseres til å gjelde trekanter som ikke er rettvinklete, men man trenger da å vite vinkelen $γ$ mellom sidene a og b:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos(γ)

Dette er også gyldig for rettvinklede trekanter fordi $cos(90) = 0$ .

[rediger] Arealet av en trekant

Det er flere måter å beregne arealet av en trekant. Den vanligste er å bruke den geometriske formelen, $\frac{h \times l}{2}$ , altså at arealet er lik bredden - altså lengden på grunnlinjen - ganger halve høyden, korteste avstand fra grunnlinjen til motstående hjørne.

Arealet er altså halve arealet av parallellogrammet man får om man kopierer trekanten, og speiler kopien om en av de to sidene som ikke er grunnlinjen.

Dersom vektorene AC og AB definerer en trekant, er arealet lik halvparten av kryssproduktet mellom disse to vektorene, eller $A = 1/2|AB \times AC|$ .

Dersom et hjørne av trekanten er definert i origo (0, 0), og de to andre er ( $x 1, y 1$ ) og ( $x 2, y 2$ ), er arealet av trekanten halvparten av absoluttverdien til determinanten til matrisen

$\begin{vmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}$