משולש

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ערך זה עוסק במצולע הקרוי משולש. לערך העוסק בפירושים ומושגים אחרים ל"משולש", ראו משולש (פירושונים).

משולש הוא מצולע בעל שלוש צלעות.

בגאומטריה אוקלידית סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות. בגאומטריה לא-אוקלידית סכום הזוויות במשולש יכול להיות גדול או קטן מ-180 מעלות. סכום זוויותיו של משולש המשורטט על פני כדור, לדוגמה, יהיה גדול מ-180.

תוכן עניינים 1 קווים ונקודות מיוחדים במשולש 2 חפיפת משולשים 3 דמיון משולשים 4 שטח המשולש 5 משולשים מיוחדים 5.1 משולש ישר זווית 5.2 משולש שווה שוקיים 5.3 "משולש הזהב"

[עריכה] קווים ונקודות מיוחדים במשולש

• הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם הצלע שממולו וחוצה את הזווית שבקודקוד לשניים קרוי חוצה זווית.
• הקטע המחבר קודקוד של המשולש עם אמצע הצלע שמולו קרוי תיכון.
• הקו היוצא מאמצע הצלע ומאונך לה, נקרא אנך אמצעים.
• הקטע היוצא מקודקוד של המשולש ומאונך לצלע שממולו קרוי גובה.
• הקטע המחבר אמצעי שתי צלעות קרוי קטע אמצעים, והוא מקביל לצלע השלישית, ושווה באורכו למחציתה.

במשולש שווה צלעות, התיכון, הגובה וחוצה הזווית מתלכדים לקטע אחד.

לקטעים אלה, ובעיקר לשלושת הראשונים, יש תפקיד מרכזי בחקירת תכונות המשולש, בעיקר דרך הנקודות שהם מגדירים:

• שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו היא מרכז המעגל החסום, ולכן היא מצויה במרחק שווה משלוש הצלעות.
• שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת. נקודה זו היא מרכז המעגל החוסם, כלומר - היא מצויה במרחק שווה משלושת הקודקודים.
• שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת, המצויה בשני-שליש הדרך מן הקודקוד לצלע, לאורך כל אחד מן התיכונים.
• גם שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת.

בשנת 1765 הוכיח לאונרד אוילר שמפגש האנכים האמצעיים (U), מפגש התיכונים (S) ומפגש הגבהים (O) נמצאים על ישר אחד, הקרוי ישר אוילר של המשולש, ומסודרים באופן ש-S נמצאת בשני-שליש הדרך מ-O ל-U.

באותה שנה גילה אוילר גם שתשע נקודות מיוחדות במשולש מצויות כולן על מעגל אחד: אמצעי שלוש הצלעות, הנקודות מהן עולים הגבהים, ואמצעי הקטעים המחברים את הקודקודים עם מפגש הגבהים. את המעגל גילה מחדש (Karl Feuerbach (1800-1834 ב- 1822, והוא קרוי בדרך כלל על-שמו, מעגל פיירבך.

אם במשולש, אורכי הצלעות הן a, b ו-c, אז:

• אורך הגובה לצלע c הוא
• אורך התיכון לצלע c הוא
• אורך חוצה הזווית שמול הצלע c הוא

[עריכה] חפיפת משולשים

ערך מורחב – חפיפת משולשים

משולשים חופפים הם זוג משולשים זהים שניתן להזיז, לסובב ולשקף אותם כך שהם יתלכדו זה עם זה, כלומר שלוש הצלעות שלהם ושלוש הזוויות שלהם שוות בהתאמה. היכולת לזהות משולשים חופפים היא כלי בסיסי בגאומטריה האוקלידית, כיוון שמשולשים חופפים הם בעלי תכונות זהות. כך, שטח שני משולשים חופפים הוא שווה, אורכי האנכים שווים, וכן גם רדיוסי המעגל החסום והחוסם, וכו'.

משולשים חופפים הם מקרה פרטי של משולשים דומים.

[עריכה] דמיון משולשים

ערך מורחב – דמיון משולשים

משולשים דומים הם שני משולשים ששלוש הזוויות שלהם שוות בהתאמה, ובין אורכי הצלעות של המשולש האחד ואורכי הצלעות של המשולש השני קיים יחס קבוע. משולשים חופפים הם גם משולשים דומים, אך משולשים דומים אינם בהכרח חופפים.

שני משולשים הם דומים אם מתקיימת אחת מהתכונות הבאות:

• זווית זווית - שני משולשים בהם שני זוגות זוויות שוות (בהתאמה).
• צלע צלע צלע - שני משולשים שבהם יש יחס שווה בין כל הצלעות המתאימות.
• צלע זווית צלע - שני משולשים שבהם יש יחס שווה בין שני זוגות צלעות והזוית שבניהם.
• צלע צלע זווית - שני משולשים שבהם יש יחס שווה בין שני זוגות של צלעות וזוג זוויות שוות. תנאי למשפט: הזוית השווה צריכה להיות מול הצלע הגדולה במשולש.

[עריכה] שטח המשולש

ישנן כמה נוסחאות לחישוב שטח המשולש, שהידועה בהן משתמשת באורך b של אחת הצלעות, ובאורך h של הגובה היורד אל אותה צלע: (האיור המצורף מוכיח נוסחה זו). אם ידועים אורכים a ו- b של שתי צלעות וגודלה של הזווית ביניהן, אז השטח שווה ל- .

נוסחת הרון משמשת לחישוב שטח המשולש לפי אורכי שלוש צלעותיו.

[עריכה] משולשים מיוחדים

[עריכה] משולש ישר זווית

משולש שאחת מזוויותיו שווה ל-90° נקרא משולש ישר זווית. במשולש זה, הצלע שמול הזווית בת ה-90° נקראת היתר ואילו שתי הצלעות האחרות נקראות ניצבים.

• משפט פיתגורס (והמשפט ההפוך לו) קובעים את הקשר בין אורכי הצלעות במשולש ישר זווית.
• התיכון ליתר במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר (ולהפך, משולש בעל תכונה זו הוא ישר זווית)
• הגובה ליתר במשולש ישר זווית מחלק אותו לשני משולשים הדומים זה לזה ולמשולש המקורי. מכאן נובע משפט אוקלידס - אורך הניצב הוא הממוצע הגאומטרי של היתר של היטלו של הניצב על היתר.
• הגובה ליתר במשולש ישר זווית הוא הממוצע הגאומטרי של היטלי הניצבים על היתר. (ולהפך, משולש בעל תכונה זו הוא ישר זווית)

במשולש ישר-זווית שאחת מזוויותיו ל30°, הצלע שמולה שווה לחצי היתר (ולהפך, במשולש ישר זווית בעל תכונה זו, יש זווית בת 30 מעלות).

[עריכה] משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו. הצלעות השוות נקראות שוקיים, והצלע השלישית נקראת בסיס.

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, ולהיפך - משולש ששתיים מזוויותיו שוות הוא שווה שוקיים. במשולש שווה שוקיים, חוצה הזווית של זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים, ולהיפך: משולש בו שניים מהם מתלכדים הוא שווה שוקיים.

משולש שווה צלעות הוא משולש שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות. כל משולש כזה הוא שווה שוקיים (בשלוש דרכים שונות).

[עריכה] "משולש הזהב"

בשם "משולש זהב" נקרא משולש שווה שוקיים בעל זווית בסיס של 72 מעלות, מכיוון שבמשולש זה מתקיימת התכונה הבאה: היחס בין הצלע לבסיס הוא יחס הזהב. עם זאת, בארץ השתרש השימוש בשם "משולש זהב" על מנת לתאר דווקא משולש ישר זווית, שזוויותיו הן בנות 90, 60 ו-30 מעלות.