Треугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Стандартные обозначения

У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения).

Треуго́льник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α,β,γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

[править] Неравенство треугольника

Стороны треугольника нельзя задавать произвольно, они связаны следующими неравенствами

a ≤ b + c
b ≤ a + c
c ≤ a + b

В случае выполнения равенства в одном из них треугольник называется вырожденным, далее везде предполагается невырожденный случай.

[править] Признаки равенства треугольников

Треугольник однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

a, b, c
a, b, γ
a, β, γ

[править] Соотношения в треугольнике

Если известны три величины, указанные выше, то остальные можно найти по следующим формулам:

[править] Теорема синусов

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$

(Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ)

[править] Теорема косинусов

c² = a² + b² - 2ab cos γ

(Является обобщением теоремы Пифагора)

[править] Теорема о сумме углов треугольника

α + β + γ = 180° (π)

[править] Ещё соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для треугольника $\triangle ABC$ :

${a\over b}={a_L\over b_L}$ - отношение для отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону,
$l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L}$ - находим биссектрису,
$m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}$ - находим медиану,
$h_c = {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\over c}$ - находим высоту.

Здесь

$\ h_a, h_b, h_c$ - высоты, опущенные соответственно на стороны $\ a$ , $\ b$ и $\ c$ ,

$\ a_L$ , $\ b_L$ отрезки, на которые биссектрира делит противолежащие стороны,

$\ r$ — радиус вписанной окружности,

$\ R$ — радиус описанной окружности,

$p=\frac {a+b+c}{2}$ — полупериметр.

[править] Площадь треугольника

$S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} bh_b$ , так как $\ h_b = a \sin \gamma$ , то:
$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} ab \sin \gamma$
$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr$
$S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}$
$S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}$ — формула Герона.
$S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} [x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)]$

Где:
$\ h_b$ — высота, проведённая на сторону $\ b$ ,
$p=\frac {a+b+c}{2}$ — полупериметр,
$\ r$ — радиус вписанной окружности,
$\ R$ — радиус описанной окружности,
$\ (x_A,y_A) ; (x_B,y_B) ; (x_C,y_C)$ — координаты вершин треугольника.

[править] Типы треугольников

[править] Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник

Основная статья: Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого 2 стороны равны. Равные стороны называются боковыми, неравная сторона называется основанием.

Для равнобедренного треугольника справедливо:

Высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
Углы при основании равны.

[править] Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник

Основная статья: Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого 3 стороны равны.

Для равностороннего треугольника справедливо:

Все углы равны 60°.
Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

[править] Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Основная статья: Прямоугольный треугольник

Прямоугольным называется треугольник, обладающий прямым углом (прямым называется угол в 90°). При этом обе стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

[править] См. также

Многоугольники
Двуугольник \| Треугольник \| Четырёхугольник \| Пятиугольник \| Шестиугольник \| Семиугольник \| Восьмиугольник \| Девятиугольник \| Десятиугольник
(См. также: Правильный многоугольник)

Категории: Треугольники | Многоугольники