Triangolo isoscele
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Si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede almeno due lati uguali o equivalentemente un triangolo che possiede almeno due angoli uguali. Infatti vale il seguente
Teorema Un triangolo ha due lati uguali se e solo se ha due angoli uguali.
Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come Pons asinorum, ponte degli asini.
Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli. Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli.
I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.
[modifica] Classificazione dei triangoli isosceli
Ogni trasformazione di similitudine trasforma un triangolo isoscele in un altro triangolo isoscele. Come tutte le figure piane, anzi come tutte le figure geometriche collocabili in uno spazio euclideo, con la precedente caratteristica i triangoli isosceli si possono opportunamente ripartire in classi di similitudine.
Ad una tale classe appartengono i triangoli caratterizzati dalle due ampiezze d'angolo α, ampiezza dell'angolo opposto al lato BC diverso dagli altri due, e β, ampiezza dei due angoli adiacenti al lato BC; evidentemente deve valere l'uguaglianza α = π - 2&beta. Quindi le classi di similitudine si possono distinguere mediante la sola ampiezza d'angolo α variabile tra 0 e π. Denotiamo la classe individuata dalla ampiezza α con TrIsα. Quando α = π/3 si ha la classe particolare dei triangoli equilateri; a sua volta la classe TrIsπ/2 è costituita dai triangoli isosceli rettangoli.
La classe TrIsα è costituita dai triangoli aventi un lato di lunghezza L, arbitrario numero reale positivo, e gli altri due lati di lunghezza L / sin(α/2). Come triangoli rappresentativi delle classi TrIsα si possono assumere i triangoli
Per α > π/2 TrIsα è costituita dai triangoli isosceli ottusangoli; per α tendente a π i triangoli tendono al segmento BC; per α < π/2 si hanno i triangoli isosceli acutangoli; per α tendente a 0, se si tiene fissa la lunghezza dei lati AB e AC i triangoli tendono al segmento AB = BC, se si tiene fissa la lunghezza di BC tendono alla striscia delimitata da BC e dalle semirette ortogonali con estremità in B e C.
[modifica] Simmetrie
Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme {1 , -1}.
