三角形
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三角形（さんかくけい、さんかっけい）は、同一直線上にない 3 点と、それらを結ぶ 3 つの線分からなる多角形。その 3 点を三角形の頂点、3 つの線分を三角形の辺という。
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[編集] 記法・定義
点 A, 点 B, 点C を頂点とする三角形は記号 △ を用いて △ABC と表記する。
三角形の 2 つの辺でできる角をその三角形の内角（または、単に角）という。図 1 でいえば、∠ACB が内角の 1 つとなる。三角形は 3 つの内角をもち、その和は 180 度となる。また、∠ACD のように 1 つの辺と 1 つの辺とのとの延長線によってつくられる角を三角形の外角という。また、三角形である頂点（角）に向かい合う辺を対辺という。
一般に三角形の頂点やその頂点の内角、内角の大きさを表すときには大文字のアルファベットを用いる。角の対辺やその長さを表すには対応する小文字のアルファベットを用いるか、2 つの頂点の記号を並べて表す。たとえば、図 2 の角 A の対辺は a または辺 BC として表す。
[編集] 三角形を成り立たせる3辺
例えば4、2、5、の3辺を与えられ、これらで三角形が作れるかどうかは次の方法をもって確認する。
三角形を構成する3辺をa、b、cとするとき、
の全てが成り立ったとき、その3辺で三角形が成り立つと言える。よって、例の4、2、5は、
- 4<2+5 真である
- 2<4+5 真である
- 5<4+2 真である
よって、3辺4、2、5で構成される三角形は成り立つと言える。なぜこうなるかと言うと、例えば、頂点AB間を結ぶ最短距離は辺ABである。他の2辺は頂点Cを通ってから頂点A（ないしBに）つながっている、と考えられる。よって、三角形において「1辺の長さ<他の2辺の合計」が成り立つため、上記の3項目が成り立てば三角形と言える。また、「a<b+c」だけ調べればいいじゃないか、とも思うだろうが、a=0のとき、三角形が成り立たないのは自明の理だろう。よって、3辺全てにおいて調べなければ、三角形であるとは言えない。
[編集] 三角形の種類
三角形はその辺や角によって、いくつかの種類に分けられる。
角の大きさが 0 度より大きく 90 度より小さい場合、その角を鋭角という。角の大きさが90 度の場合、その角を直角という。角の大きさが 90 度より大きく 180 度より小さい場合、その角を鈍角という。三角形の内角の和は 180 度なので、三角形は 90 度以上の大きさの角を 2 つ以上は持てない。すなわち、三角形の内角はすべて鋭角か、一つの直角または、鈍角をもつかのいずれかである。
ここで、すべての角が鋭角である三角形を鋭角三角形（図 2）、1 つの角が直角である三角形を直角三角形（図 4）、1 つの角が鈍角である三角形を鈍角三角形（図 3）という。
また、辺の長さが全部異なる三角形を不等辺三角形（図 2）という。2 つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形（図 5）という。また、2 つの辺が等しい直角三角形を直角二等辺三角形（図 6）という。3 つの辺の長さがすべて等しい三角形を正三角形（図 7）という。
[編集] 直角三角形
直角三角形の直角の対辺を斜辺という（図 4）。直角三角形では、斜辺がほかの 2 つの辺よりも必ず長い。最大辺が c の △ABC が直角三角形であることは、次の公式
- a2 + b2 = c2
が成り立つことと同値である（ピタゴラスの定理）。
[編集] 二等辺三角形
二等辺三角形の等しい 2 つの辺が作る内角を頂角といい、残りの 2 つの内角を底角という。また、頂角の対辺を底辺という。△ABC が b = c の二等辺三角形であることは、∠B = ∠C であること、また ∠A の二等分線が辺 BC を垂直に二等分することとそれぞれ同値である。
直角二等辺三角形の頂角の大きさは 90 度であり、底角の大きさはそれぞれ 45 度となる（図 6）。
[編集] 正三角形
正三角形の内角はすべて等しく 60 度となり、また任意の 1 角が 60 度である二等辺三角形は正三角形である。（図 7）。
[編集] 面積
1 つの辺、またはその延長線と直角に交わる直線をその辺にたてた垂線といい、垂線とその辺との交点を垂線の足という。ある辺にたてた垂線が、それに対する頂点を通るとき、垂線の足とその頂点との距離をその三角形の高さという。高さは 3 つの辺に対して定義できる。ある頂点 A の対辺 a に対する高さが ha のとき、三角形の面積 S は
で表される。また、3 辺の長さをそれぞれ a, b, c とし、s = (a + b + c) / 2 とするとき、三角形の面積 S は
と表される（ヘロンの公式）。二次元平面上で、座標 (0, 0), (x1, y1), (x2, y2) を頂点とする三角形の面積は、
で表せる。
[編集] 五心
三角形は内心、外心、垂心、重心、傍心をもつ。これらをあわせて五心という。
外心を O、重心を G、垂心を H とおくと、3 点 O, G, H は一直線上にあり（この直線をオイラー線と呼ぶ）、また OG : GH = 1 : 2 である。
[編集] 内心
三角形の 3 つの内角の二等分線は 1 点で交わる。この点のことを内心という。内心は 3 つの辺から等距離であり、内心を中心として半径がその距離である円は 3 つの辺に接する。この円のことを内接円という。
[編集] 外心
三角形の 3 辺の垂直二等分線は 1 点で交わる。この点のことを外心という。外心は 3 つの頂点から等距離であり、外心を中心として半径がその距離である円は 3 つの頂点を通る。この円のことを外接円という。
[編集] 垂心
三角形の 3 つの頂点からそれぞれの対辺に引いた垂線は 1 点で交わる。この点のことを垂心という。
[編集] 重心
三角形の頂点とその対辺の中点を結ぶ 3 つの線分は 1 点で交わる。この点のことを重心という。また、それぞれの線分を中線といい、重心は中線を 1 : 2 の比で分割する。
[編集] 傍心
三角形の 1 つの内角と他の 2 つの外角の二等分線は 1 点で交わる。この点のことを傍心（ぼう しん）という。三角形に傍心は 3 つある。傍心は 1 つの辺と 2 つの辺の延長線と等距離にあり、傍心を中心として半径がその距離である円を傍接円という。
三角形の 3 辺、およびその延長線上と等距離である点は、内心と傍心あわせて 4 点ある。
[編集] 合同条件
2 つの三角形を移動して重ねあわせることができるとき、この 2 つの三角形は合同であるという。ここでいう移動とは、平行移動、回転移動、対称移動を組み合わせたものである。
ある 2 つの三角形について、以下の条件のうち 1 つでも満たしていれば、その 2 つの三角形は合同となる。これを三角形の合同条件という。この条件は「三つの条件のうち、どれかが与えられれば三角形は決定される」、「相似の特別な場合である」（これは一般の多角形についても成り立つ）と解釈する事もできる。
- 三辺相等: 対応する 3 辺の長さがそれぞれ等しい
- 二辺夾（挟）角相等: 対応する 2 辺の長さと、挟まれる角の大きさがそれぞれ等しい
- 二角夾（挟）辺相等: 対応する 2 角の大きさと、挟まれる辺の長さがそれぞれ等しい
なお、二角夾辺相等については、「一辺両端角相等」などの表記もみられる。また、三角形の内角の和が 180 度である事を考えれば、必ずしも、辺を挟む 2 角が与えられていなくとも良い事が分かる。
これに対して、2 辺と 1 角が等しい場合には、それだけでは合同であるとはいえない。例を図 13 に示す。図 13 の場合、三角形 ABC と A'B'C' について、辺 AB と A'B', AC と A'C', 角 ABC と A'B'C' が等しいが、合同ではない。
また、1 角が直角である場合、次のような合同条件も考えられる。
- 斜辺と他の一辺相等
- 斜辺と一つの鋭角相等
[編集] 相似条件
ある 2 つの三角形について、以下の条件のうち 1 つでも満たしていれば、その 2 つの三角形は相似である。
- 三辺比相等（三辺の比相等）: 対応する 3 組の辺の長さの比が等しい
- 二辺比夾（挟）角相等（二辺の比と夾（挟）角相等）: 対応する 2 組の辺の長さの比と、挟まれる角の大きさがそれぞれ等しい
- 二角相等: 対応する 2 組の角の大きさがそれぞれ等しい
「三辺の比相等」について、これは、ある三角形と、また別の三角形について、対応する辺の長さがそれぞれ等しいことを言っている。 また、ある三角形 A において、辺の長さの比が、p : q : r であり、別の三角形 B において、辺の長さの比も、p : q : r である場合には、三角形 A の辺の長さが ap, aq, ar とおけて、三角形 B の辺の長さが bp, bq, br とおける。すると、ap : bp = aq : bq = ar : br = a : b であり、相似といえる。
特に、正三角形（内角が全て60度）と直角二等辺三角形（内角が90,45,45度）については互いに相似である。
