Matematica

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La parola matematica deriva dal greco μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significa "desideroso di apprendere".

Con questo termine generalmente si designa la disciplina che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale.

[modifica] Evoluzione e finalità della matematica

La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata, e quindi a raggiungere lo status di scienza; ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellizzazione. È significativo che in talune lingue e in talune situazioni al termine singolare si preferisce il plurale matematiche.

Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto all'importanza dei singoli personaggi capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi: questi però si sono riscontrati solo in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Nella storia della matematica degli ultimi 500 anni, in relazione al miglioramento dei mezzi di comunicazione è comunque prevalsa la crescita progressiva del patrimonio di risultati e di metodi.

Questo è dovuto alla natura stessa delle attività matematiche. Esse sono costantemente tese alla esposizione precisa dei problemi e delle soluzioni e questo impone di comunicare avendo come fine ultimo la possibilità di chiarire tutti i dettagli delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio per molti aspetti esemplare come strumento per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze. Sono quindi rari i casi di errori o di smagliature che non siano stati riconosciuti e corretti, o almeno segnalati ad alta voce come necessari di correzione, in tempi brevi.

[modifica] Matematica teorica e applicata

Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti ad obiettivi non collegati.

Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi ed ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a due differenti generi di motivazioni e di approcci: le motivazioni applicative, con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di sistemazione concettuale con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.

Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.

Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde ad esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.

Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) che differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.

[modifica] Argomenti principali della matematica

Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi oggetto della indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario guidato per un progressivo accostamento delle problematiche, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.

[modifica] Aritmetica

Per approfondire, vedi la voce Aritmetica.

I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: si tratta di calcoli eseguibili con le quattro operazioni che possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti ed alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.

I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.

[modifica] Algebra

Per approfondire, vedi la voce Algebra.

I problemi computazionali più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi $3$ e $5$ è il loro prodotto $3 \times 5 = 15$ . Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. Ad esempio: per il Teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza $3$ e $4$ , quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo $x$ che risolve l'equazione $x^2 - 3^2 - 4^2 = 0 \;$ . Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.

Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri i cui valori si lasciano indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di lunghezza $a$ e $b$ , la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo $x$ tale che $x^2 -a^2 - b^2 = 0 \;$ .

Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni si rende necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.

[modifica] Geometria

Per approfondire, vedi la voce Geometria.

Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente i seguenti oggetti primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono quindi altri oggetti quali segmenti, angoli, angoli solidi, poligoni e poliedri.

Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0,1,2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita!). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2. Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti!

[modifica] Analisi

Per approfondire, vedi la voce Analisi matematica.

Lo studio dell'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti vengono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.

[modifica] Settori della matematica

[modifica] Quantità

$1, 2, \ldots \,\!$	$0, 1, -1, \ldots \,\!$	$\frac{1}{2}, 0.7,\ldots \,\!$	$\pi, e, \sqrt{2},\ldots \,\!$	$i, e^{i\pi/3},\ldots \,\!$
Numeri naturali	Numeri interi	Numeri razionali	Numeri reali	Numeri complessi

Numero -- Numeri naturali -- Pi Greco -- Numeri interi -- Numeri razionali -- Numeri reali -- Numeri complessi -- Numeri ipercomplessi -- Quaternioni -- Ottonioni -- Sedenioni -- Numeri iperreali -- Numeri surreali -- Numeri ordinali -- Numeri cardinali -- Numeri p-adici -- Successioni di interi -- Costanti matematiche -- Nome dei numeri -- Infinito

[modifica] Strumenti

$36 \div 9 =4 \,\!$	$x^2+3x+1=0 \,\!$	$\int 1_S\,d\mu=\mu(S) \,\!$
Aritmetica	Algebra	Analisi
	$\begin{matrix} A^{\mu \nu} B_{\sigma \tau}= T^{\mu\nu}_{\sigma \tau} \\ A^{\mu}_\nu B^\tau _\sigma = T^{\mu \tau}_{\nu \sigma } \end{matrix} \,\!$	$\frac {\partial p(x,y)} {\partial y} = \frac {\partial q(x,y) } {\partial x} \,\!$
Calcolo vettoriale	Calcolo tensoriale	Equazione differenziale

Teoria dei sistemi	Teoria del caos	Lista di funzioni

[modifica] Strumenti informatici

Fra gli strumenti informatici negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive.

Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati sistemi di algebra computazionale o addirittura con il termine inglese Computer algebra systems, abbreviato con CAS.

Segnaliamo alcuni programmi open source o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:

	Maxima è un computer algebra system completo scritto in Lisp. È basato su DOE-MACSYMA e distribuito con licenza GNU GPL.	http://maxima.sourceforge.net/
	Scilab è un software creato per il calcolo numerico, include un gran numero di funzioni sviluppate per le applicazioni scientifiche e ingegneristiche. È possibile aggiungere nuove funzioni scritte in vari linguaggi (C, Fortran...) e gestisce vari tipi di strutture (liste, polinomi, funzioni razionali, sistemi lineari..).	http://scilabsoft.inria.fr/
	R è un ambiente di sviluppo specifico per l'analisi statistica dei dati che utilizza un linguaggio di programmazione derivato e in larga parte compatibile con S. Venne scritto inizialmente da Robert Gentleman e Ross Ihaka.	http://www.r-project.org/
	Octave è un linguaggio di alto livello pensato principalmente per il calcolo numerico ed elaborato inizialmente da J.W. Eaton e altri.	http://www.octave.org

[modifica] Strutture


Algebra astratta	Teoria dei numeri	Teoria dei gruppi

Topologia	Teoria delle categorie	Relazione d'ordine

Algebra astratta -- Teoria dei numeri -- Geometria algebrica -- Teoria dei gruppi -- Monoidi -- Analisi -- Topologia -- Algebra lineare -- Teoria dei grafi -- Algebra universale -- Teoria delle categorie

[modifica] Spazi


Topologia	Geometria	Trigonometria	Geometria differenziale	Geometria frattale

Topologia -- Geometria -- Trigonometria -- Geometria algebrica -- Geometria differenziale -- Topologia differenziale -- Topologia algebrica -- Algebra lineare -- Geometria frattale -- Teoria della misura -- Analisi funzionale

[modifica] Matematica discreta

$\begin{matrix} \left [ 1,2,3 \right ] & \left [ 1,3,2 \right ] \\ \left [ 2,1,3 \right ] & \left [ 2,3,1 \right ] \\ \left [ 3,1,2 \right ] & \left [ 3,2,1 \right ] \end{matrix} \,\!$
Calcolo combinatorio	Teoria ingenua degli insiemi	Teoria della computazione	Crittografia	Teoria dei grafi

Calcolo combinatorio -- -- Combinatorica -- Teoria della computazione -- -- Crittografia -- Teoria dei grafi -- Teoria dei giochi -- Teoria dei codici

[modifica] Matematica e storia

[modifica] Persone, premi e competizioni

Astronomi
Statistici celebri
Medaglia Fields -- Premio Nevanlinna -- Premio Abel
Premio Bartolozzi -- Premio Caccioppoli -- Premio Tricerri -- Premio Vinti -- Premio Fichera
Premio Clay -- Premio Schock -- Premio Steele
Premio Balzan
Olimpiadi della matematica

[modifica] Comunità della matematica

[modifica] Documentazione della matematica

[modifica] Matematica, arte e intrattenimento

Matematica e cinema
Matematica e teatro
Matematica e musica
Matematica e letteratura
Matematica, pittura, scultura e architettura
Giochi matematici
Matematica ricreativa
Etnomatematica

[modifica] Alcune letture introduttive

Richard Courant, Herbert Robbins, Ian Stewart (1996): What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed., Oxford University Press, ISBN 0195105192
Gian-Carlo Rota (1997): Indiscrete Thoughts, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3866-0
Keith Devlin (2000): The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN 0805072543
Francesco Guadalupi, Lessico matematico, Di Renzo Editore, 2002
Timothy Gowers (2002): Mathematics, a very short introduction, Oxford University Press, ISBN 0-19-285361-9 - trad. italiana Matematica - un'introduzione, Giulio Einaudi (2004).
Imre Toth, Matematica ed emozioni, Di Renzo Editore, 2004

[modifica] Aforismi e opinioni sulla matematica

Wikiquote contiene citazioni di o su Matematica

La matematica è l’alfabeto nel quale Dio ha scritto l’universo. (Galileo Galilei, 1564-1642)
La matematica è più di una forma d’arte. (Takakazu Seki, 1642-1708)
La matematica è la Vita degli Dei. (Novalis, 1772-1801)
La matematica è un linguaggio. (Josiah Gibbs, 1839-1903)
La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (Bertrand Russell, 1872-1970)
I matematici sono dei sarti impazziti: confezionano “tutti gli abiti possibili” sperando di fare anche qualcosa adatto ad essere effettivamente indossato. (Attribuito a David van Dantzig, 1900-1959)
Il linguaggio della matematica si rivela irragionevolmente efficace nelle scienze naturali […] un dono meraviglioso che non comprendiamo né meritiamo. (Eugene Wigner, 1902-1995)
La matematica è linguaggio […] più logica. (Richard Feynman, 1918-1988)
All’inizio e alla fine abbiamo il mistero. Potremmo dire che abbiamo il disegno di Dio. A questo mistero la matematica si avvicina, senza penetrarlo. (Ennio De Giorgi, 1928-1996)
La matematica è quella parte della scienza che potresti continuare a costruire anche se domattina, svegliandoti, scopri che l’universo non c’è più. (Citato da Dave Rusin)
Partial and Inconclusive Proofs are Welcome! (Doron Zeilberger)

[modifica] Collegamenti esterni

Aforismi e citazioni sulla matematica

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Classificazione delle ricerche matematiche: sezioni di livello 1
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51 52 53 54 55 57 58 | 60 62 65 68 | 70 74 76 78 | 80 81 82 83 85 86 | 90 91 92 93 94 97-XX

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