Superficie (matematica)

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Il concetto di superficie si forma in modo intuitivo nell'esperienza quotidiana, considerando ad esempio il bordo di oggetti concreti o lamine estremamente sottili. In matematica queste idee vengono formalizzate intendendo con superficie un ente geometrico che si può pensare generato in vari modi, come dal movimento continuo di una linea oppure dal contorno di un corpo solido. Essa può essere piana, curva, limitata, illimitata, chiusa o aperta. Le definizioni matematiche sono diverse ma sono tutte quante racchiuse nella nozione di "superficie astratta" e di varietà differenziabile. Nei casi più comuni il termine è usato per riferirsi a superfici in uno spazio tridimensionale.

Indice

1 Superficie nello spazio tridimensionale
- 1.1 Definizioni
- 1.2 Relazioni fra le definizioni
2 Superficie astratta
3 Tipologie di superfici
4 Superfici notevoli
5 Voci correlate
6 Collegamenti esterni

[modifica] Superficie nello spazio tridimensionale

[modifica] Definizioni

Una superficie in uno spazio euclideo tridimensionale (dotato un sistema di assi cartesiani x,y,z), viene generalmente definita in tre modi distinti, riconducibili l'uno all'altro solo sotto opportune condizioni. A seconda della definizione si dice che la superficie è data in forma implicita, forma esplicita o forma parametrica

Forma parametrica - viene chiamata superficie l'immagine di una funzione continua di due variabili reali nello spazio euclideo tridimensionale $\varphi: \R^2 \to \R^3$

Le coordinate dei punti della superficie sono date dalle equazioni parametriche:

$x=\varphi_1(u,v)$

$y=\varphi_2(u,v)$

$z=\varphi_3(u,v)$

al variare dei due parametri u e v.

Questa è la definizione generalmente più utile ai fini pratici, in quanto permette in modo agevole il calcolo di aree e di integrali di superficie.

Forma implicita - la superficie viene definita come il luogo dei punti le cui coordinate (x,y,z) soddisfino una equazione cartesiana:

$F(x,y,z)=0\,$

dove $F$ è una funzione continua non costante a valori reali.

Forma esplicita - la superfice viene definita come grafico di una funzione reale del piano: data una funzione $f: \R^2 \to \R$ continua, la superficie è l'insieme dei punti (x,y,f(x,y)). Spesso si indica la superficie semplicemente tramite l'equazione

$z=f(x,y)\,$

[modifica] Relazioni fra le definizioni

Si vede immediatamente che ogni superficie scritta in forma esplicita si può ricondurre alla forma implicita, semplicemente ponendo

$F(x,y,z)=z-f(x,y)\,$ .

Il procedimento inverso, invece, non sempre è possibile.

Ogni superficie definita esplicitamente si può sempre scrivere anche in forma parametrica, ponendo

$x=u\,$

$y=v\,$

$z=f\,(u,v)$

Anche in questo caso il procedimento inverso non sempre è valido. Si vede quindi che la definizione esplicita è più forte delle altre due, nel senso che la classe delle superfici che possono essere definite in modo esplicito è più ristretta rispetto a quelle relative alle forme implicite e parametriche.

Le condizioni sotto le quali una superficie data in forma implicita si possa ridurre in forma esplicita si possono trovare come corollari al teorema della funzione implicita.

Queste definizioni si possono estendere, in modo da comprendere superfici meno regolari, chiedendo alle funzioni condizioni più deboli rispetto alla continuità.

[modifica] Superficie astratta

Una definizione molto più generale, indipendente dallo spazio ambiente ( $R 3$ nei casi visti sopra), si ottiene chiamando superficie una generica varietà di dimensione 2. Le definizioni esposte sopra, con la richiesta aggiuntiva di analiticità delle funzioni definitorie, forniscono esempi di varietà immerse, rientrando quindi nella definizione di superficie come varietà differenziale; esistono però esempi di varietà differenziabili bidimensionali non descrivibili per mezzo delle altre forme (come il nastro di Möbius e la bottiglia di Klein).

A seconda dei contesti, si può indicare col termine superficie strutture con caratteristiche diverse da quelle citate sopra; ad esempio, si può chiamare brevemente superficie un'ipersuperficie in uno spazio vettoriale (o in una varietà differenziabile), cioè una varietà di dimensione inferiore a quella dello spazio ambiente (ma non necessariamente 2), talvolta si parla anche di superfici frattali, indicando strutture frattali costruite a partire da una superficie, ma che, in definitiva, non ne conservano alcuna caratteristica specifica.