Pravděpodobnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, které je mírou očekávatelnosti výskytu jevu. Náhodným jevem rozumíme opakovatelnou činnost prováděnou za stejných (nebo přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Příklady mohou být například házení kostkou, střelba do terče nebo losování loterie.

Pravděpodobnost události se obecně označuje reálným číslem od 0 do 1. Událost, která nemůže nastat, má pravděpodobnost 0, a naopak jistá událost má pravděpodobnost 1.

[editovat] Historie

Matematickým vyjádřením pravděpodobnosti se ve své korespondenci zabývali Pierre de Fermat a Blaise Pascal (1654). Základy pravděpodobnosti jako matematické discipliny položili Christiaan Huygens, Jakob Bernoulli a Abraham de Moivre. V roce 1774 se Pierre-Simon Laplace jako první pokusil odvodit zákon pro kombinaci pozorování z teorie pravděpodobnosti. Zákon o pravděpodobnosti chyb vyjádřil křivkou $y = \varphi(x)$ , kde $x$ je chyba a $y$ její pravděpodobnost, a stanovil tři vlastnosti této křivky:

Křivka je symetrická podle osy y.
Osa x je asymptotou – pravděpodobnost nekonečně velké chyby se blíží nule.
Obsah křivkou vymezené oblasti je 1 – je jisté, že chyba existuje.

Metodu nejmenších čtverců objevil Adrien-Marie Legendre, který ji uvedl ve své publikaci Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes.

[editovat] Definice

Množinu všech možných výsledků pokusu značíme $Ω$ . Podmnožiny množiny $Ω$ se nazývají (náhodné) jevy.

[editovat] Klasická (Laplaceova) definice pravděpodobnosti

Nechť náhodný pokus splňuje předpoklady:

Všech možných výsledků je konečný počet.
Všechny výsledky jsou stejně možné.
Všechny výsledky se vzájemně vylučují.

Pravděpodobností jevu A pak nazveme číslo $P(A) = \frac{m}{n}$ , kde $n$ je počet všech výsledků náhodného pokusu a $m$ je počet výsledků příznivých jevu A; $n = | Ω |$ , $m = | A |$ .

[editovat] Statistická definice pravděpodobnosti

Opakujme náhodný pokus $N$ -krát, přičemž předpokládejme, že výskyt náhodného jevu $A$ pozorujeme v $K$ případech. Číslo $K$ se nazývá četností jevu $A$ . Poměr $\frac{K}{N}$ se pak označuje jako poměrná četnost jevu $A$ . Jestliže se s rostoucím $N$ , tedy se zvyšováním počtu opakování pokusu, relativní četnost $\frac{K}{N}$ blíží nějakému číslu, pak toto číslo můžeme považovat za pravděpodobnost daného jevu. Tuto definici pravděpodobnosti označujeme jako statistickou.

Při velkém počtu pokusů se bude relativní četnost blížit pravděpodobnosti daného jevu. Klasickou i statistickou definicí tak získáme stejnou hodnotu pravděpodobnosti. Klasická definice však umožňuje určení pravděpodobnosti ještě před provedením pokusu, zatímco definice statistická vychází až z výsledků provedeného pokusu.

[editovat] Geometrická definice pravděpodobnosti

Dalším příkladem definice pravděpodobnosti může být tzv. geometrická definice. Podle geometrické definice je pravděpodobnost jevu $A$ určena jako $P(A) = \frac{\omega}{S}$ , kde $S$ je obsah plochy představující všechny možné výsledky náhodného pokusu a $ω$ je obsah plochy, která představuje výsledky, při nichž dojde k výskytu jevu $A$ . Také geometrická definice vychází z předpokladu, že všechny výsledky náhodného pokusu jsou stejně pravděpodobné.

[editovat] Kolmogorova axiomatická definice

Podrobnější informace naleznete v článku Kolmogorovovy axiomy pravděpodobnostinaleznete v článcích [[{{{2}}}]] a [[{{{3}}}]]naleznete v článcích [[{{{4}}}]], [[{{{5}}}]] a [[{{{6}}}]]naleznete v článcích [[{{{7}}}]], [[{{{8}}}]], [[{{{9}}}]] a [[{{{10}}}]].

Přiřazení pravděpodobnosti náhodnému jevu popisuje Kolmogorova axiomatická definice pravděpodobnosti z roku 1933. Je-li $Ω$ neprázdná množina a $S$ je σ algebra náhodných jevů definovaných na $Ω$ , pak pravděpodobností se nazývá reálná funkce $P (A)$ definovaná na $S$ , která pro $A\in S$ a $A_1, A_2, ... \in S, A_i\cap A_j - \emptyset, i\neq j$ splňuje

$P(A)\geq 0$ , tzn. pravděpodobnost každého jevu je nezáporná
$P (Ω) = 1$ , tzn. pravděpodobnost jistého jevu je rovna 1.
$P\left(\cup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)$ , tzn. pravděpodobnost sjednocení vzájemně se vylučujících jevů (tj. jejich průnik je nemožný jev) je rovna součtu jejich pravděpodobností.

Z uvedených axiomů vyplývá následující:

Pravděpodobnost je číslo v intervalu $\langle 0,1 \rangle$ , tzn. $0\leq P(A)\leq 1$ .
Nemožný jev má nulovou pravděpodobnost, tedy $P(\emptyset) = 0$ .
Pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem se vylučujících jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností, tzn. $P(A_1\cup A_2) = P(A_1) + P(A_2)$ . Tento důsledek lze zobecnit na sjednocení libovolného konečného počtu jevů, tzn. $P\left(\cup_{i=1}^k A_i\right) = \sum_{i=1}^k P(A_i)$ .
Pravděpodobnost opačného jevu je doplněk pravděpodobnosti výchozího jevu do jedné, tzn. $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ .
Je-li $A$ částí jevu $B$ , pak pravděpodobnost jevu $A$ je menší nebo rovna pravděpodobnosti $B$ , tzn. $P(A)\leq P(B)$ .
Je-li $A$ částí jevu $B$ , pak pravděpodobnost rozdílu jevů $B - A$ je rovna rozdílu pravděpodobností obou jevů, tzn. $P (B - A) = P (B) - P (A)$ .

Kolmogorova definice je dostatečně obecná, neboť funkce $P$ může představovat míru na dané σ-algebře. Předchozí definice pak představují pouze speciální případy axiomatické definice. V praxi se však při výpočtu pravděpodobnosti často využívají.

[editovat] Vlastnosti

$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
$P\left(\cup_{i=1}^n A_i\right) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n P(A_i\cap A_j) + \sum_{i=1}^{n-2}\sum_{j=i+1}^{n-1}\sum_{k=j+1}^n P(A_i\cap A_j\cap A_k) + \cdots + {(-1)}^{n-1} P\left(\cap_{i=1}^n A_i\right)$
Pro posloupnost jevů $A_1 \subset A_2 \subset \cdots$ platí $P\left(\cup_{i=1}^\infty A_i\right) = \lim_{i\to\infty} P(A_i)$
Pro posloupnost jevů $A_1 \supset A_2 \supset \cdots$ platí $P\left(\cap_{i=1}^\infty A_i\right) = \lim_{i\to\infty} P(A_i)$

[editovat] Podmíněná pravděpodobnost

Náhodný jev určujeme vždy k určitým podmínkám. Nejsou-li na výskyt daného jevu $A$ kladeny žádné další podmínky, potom pravděpodobnost $P (A)$ jevu $A$ označujeme jako nepodmíněnou pravděpodobnost. Pokud se jev $A$ může vyskytnout pouze tehdy, vyskytl-li se jev $B$ , jehož pravděpodobnost je $P (B) > 0$ , pak hovoříme o podmíněné pravděpodobnosti jevu $A$ a označujeme ji $P (A | B)$ . Při $P (B) > 0$ lze pravděpodobnost jevu $A$ , která je podmíněna výýskytem jevu $B$ vyjádřit jako

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{|A \cap B|}{|B|}$

Máme-li náhodné jevy $A 1, A 2,..., A n$ , pak pravděpodobnost jejich průniku je

$P\left(\cap_{i=1}^n A_i\right) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots P\left(A_n|\cap_{i=1}^{n-1}A_i\right)$

Speciálním případem tohoto vztahu je pravděpodobnost průniku dvou jevů $A, B$ , tedy pravděpodobnost, že jevy $A, B$ nastanou současně. Podle tohoto vztahu je tato pravděpodobnost rovna součinu pravděpodobnosti jednoho jevu a podmíněné pravděpodobnosti jevu druhého, tzn.

$P\left(A\cap B\right) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)$

[editovat] Nezávislé jevy

Řekneme, že jevy $A$ a $B$ jsou nezávislé, pokud jev $A$ nezávisí na výskytu jevu $B$ a současně pravděpodobnost výskytu jevu $B$ nezávisí na jevu $A$ . Pokud pravděpodobnost výskytu jevu $A$ nezávisí na výskytu jevu $B$ , pak musí platit $P (A | B) = P (A)$ . Podle vztahu pro podmíněnou pravděpodobnost tedy platí

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .

Vzhledem k tomu, že ani výskyt jevu $B$ nezávisí na výskytu jevu $A$ , musí současně platit $P (B | A) = P (B)$ , odkud však opět získáme vztah $P(A\cap B) = P(A)P(B)$ .

Uvedené tvrzení lze obrátit, tzn. jestliže platí $P(A\cap B) = P(A)P(B)$ , pak jsou jevy $A, B$ nezávislé.

Podobně řekneme o jevech $A 1, A 2,..., A n$ , že jsou nezávislé, pokud platí

$P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n) = P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)$

Nezávislost splňující tento vztah bývá označována jako skupinová nezávislost jevů. Každý jev je totiž nezávislý nejen na ostatních jevech, ale je také nezávislý na (libovolných) průnicích ostatních jevů. Nezávislost jevů po dvou je typ nezávislosti, kdy každý jev je nezávislý na ostatních jevech, nemusí však být nezávislý na průnicích jiných jevů.

[editovat] Příklad

Mějme čtyři krabice, přičemž každá krabice má víko a uvnitř je koule. První krabice je bílá, uvnitř je bílá koule a víko krabice je také bílé. Druhá krabice je bílá, uvnitř je černá koule a víko je také černé. Třetí krabice je černá, uvnitř je černá koule a víko je bílé. Poslední krabice je černá, uvnitř je bílá koule a víko je černé.

Za náhodný jev $A$ budeme považovat, že náhodně vybraná krabice je černá, za jev $B$ vezmeme, že náhodně vybrané krabice obsahuje černou kouli a jevem $C$ bude, že náhodně vybraná krabice má černé víko.

Z předchozího lze zjistit

$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{2}$

Pro současný výskyt dvojic jevů platí

$P(A\cap B) = P(A\cap C) = P(B\cap C) = \frac{1}{4}$

Vzhledem k tomu, že neexistuje žádná černá krabice s černou koulí a černým víkem, bude

$P(A\cap B\cap C) = 0$

Je tedy vidět, že náhodné jevy $A, B, C$ jsou po dvou nezávislé, avšak nejsou nezávislé.

[editovat] Vzorec úplné pravděpodobnosti

Jestliže jevy $A 1, A 2,..., A n$ tvoří úplný systém jevů, pak pravděpodobnost libovolného jevu $B$ lze určit pomocí tzv. vzorce úplné pravděpodobnosti

$P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)$

[editovat] Bayesův vzorec

Mějme úplný systém jevů $A 1, A 2,..., A n$ . Jestliže je výsledkem náhodného pokusu jev $B$ , pak k určení podmíněné pravděpodobnosti jevu $A i$ vzhledem k jevu $B$ použijeme Bayesův vzorec, který zapisujeme

$P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{k=1}^n P(A_k)P(B|A_k)}$

pro $i = 1,2,..., n$ .

[editovat] Rozdělení

Rozdělení pravděpodobnosti je funkce, která přiřazuje pravděpodobnosti událostem nebo tvrzením. Pro každou sadu událostí existuje mnoho způsobů, jak přiřadit pravděpodobnost, takže výběr rozdělení odpovídá různým předpokladům o události.

Existuje několik způsobů, jak vyjádřit rozdělení pravděpodobnosti. Nejobvyklejší je uvést hustotu rozdělení pravděpodobnosti; samotná pravděpodobnost jevu se pak získá integrací funkce hustoty. Distribuční funkci lze také uvést přímo.

Rozdělení pravděpodobnosti nazveme diskrétní, pokud je definováno na spočetné, diskrétní množině, jako je podmnožina celých čísel. O spojitém rozdělení mluvíme v případě, že existuje spojitá distribuční funkce, např. polynomická nebo exponenciální. Většina rozdělení, které mají praktické využití, jsou buď diskrétní nebo spojité, ale existují i rozdělení, která nespadají do žádné z těchto dvou kategorií.

Důležitá diskrétní rozdělení jsou například jednoduché rozdělení, Poissonovo, binomické, negativní binomické a Maxwellovo–Boltzmannovo. Mezi důležitá spojitá rozdělení patří normální rozdělení, rozdělení gama, Studentovo t-rozdělení a exponenciální rozdělení.

Náhodné veličiny jsou proměnné, jejichž hodnoty při konstantních podmínkách závisí na náhodě, přičemž každá z těchto hodnot vystupuje s určitoupravděpodobností. Náhodné veličiny mohou být diskrétní nebo spojité a odpovídá jim diskrétní nebo spojitá distribuční funkce.

$F(x) = \Pr\left[ X \le x \right]$

Tato funkce je monotónní, neklesající, má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti a je spojitá zleva.

Diskrétní distribuční funkce je určena náhodnou veličinou, která je diskrétní, tedy může nabývat jen konečně mnoha hodnot x_i. Hodnoty x_i jsou body nespojitosti a příslušné pravděpodobnosti jsou skoky disktribuční funkce v těchto bodech.

$F(x) = \Pr \left[X \le x \right] = \sum_{x_i \le x} p(x_i)$ pro $i = 1, 2, ...\,\!$ .