Todennäköisyys

Wikipedia

Todennäköisyys tai todennäköisyyslaskenta on matematiikan ala, jonka synnytti tutkimus uhkapelien kannattavuudesta. Nykyaikainen tutkimus käyttää apuvälineinä erityisesti mittateoriaa ja analyysiä. Peruskäsitteitä ovat todennäköisyysmitta, odotusarvo, satunnaismuuttuja ja jakauma. Arkikielen käsitettä todennäköisyys kuvaa satunnaisten tapahtumien jakaumia tai epätäsmällisen tiedon varmuutta.

[muokkaa] Peruskäsitteitä

Nykymatematiikassa todennäköisyyden teoria on kehitetty mittateoreettisesta näkökulmasta siten, että monet todennäköisyyden peruskäsitteet yhtenevät mittateorian kanssa: tapahtumien joukko on sigma-algebra, todennäköisyys on mitta, satunnaismuuttuja on mitallinen kuvaus ja odotusarvo on integraali perusjoukon yli.

Koulumatematiikassa käytetään havainnollisempaa lähtökohtaa opetettaessa todennäköisyyslaskentaa, missä aloitetaan tarkastelu symmetrisistä alkeistapauksista ja muista jakaumista.

[muokkaa] Todennäköisyysavaruus

Kuten mittateoriassa, aluksi on määriteltävä todennäköisyysmitta ja -avaruus. Perusjoukko on mielivaltainen epätyhjä joukko, jolle on vakiintunut merkintä $Ω$ . Tällä perusjoukolla on määriteltävä sigma-algebra $\mathcal{F}$ . Todennäköisyysmitta on numeroituvasti additiivinen positiivinen mitta $\mathcal{F} \rightarrow [0,1]$ , jolle perusjoukon mitta $\mathbb{P}(\Omega)=1$ . Todennäköisyysavaruus, myös todennäköisyyskenttä, on kolmikko $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ .

Sigma-algebran $\mathcal{F}$ alkioita kutsutaan tapahtumiksi. Tulkinnallisesti sigma-algebra on satunnaiskokeesta havaittavissa olevien, tai muuten mielenkiintoisten ja olennaisten lopputulosten joukko. Perusjoukon alkioita kutsutaan alkeistapauksiksi, ja varsinaisen satunnaisuuden, joka liittyy todennäköisyyteen taustalla olevana ilmiönä, ajatellaan liittyvän alkeistapauksen $\omega \in \Omega$ valintaan todennäköisyysmitan $\mathbb{P}$ määrätessä jakauman.

Tapahtuman $A \in \mathcal{F}$ sanotaan sattuvan, jos $\omega \in A$ . Todennäköisyys, että $A$ sattuu, on sen mitta $\mathbb{P}(A)$ .

Tapahtumiin voi luonnollisesti ajatella liittyvän loogisia operaattoreita, kuten ei, ja ja tai. Nämä tulkitaan satunnaisilmiön kuvailussa joukko-opin kielelle joukko-operaatioina. Tapahtuma $A$ ei satu, jos sen komplementti sattuu: $\omega \in A^c$ . Tapahtumat $A$ ja $B$ sattuvat, jos niiden leikkaus sattuu: $\omega \in A \cap B$ . $A$ tai $B$ sattuu, jos niiden yhdiste sattuu: $\omega \in A \cup B$ . $A$ sattuu, mutta $B$ ei, jos edellisen ja jälkimmäisen erotus sattuu: $\omega \in A \setminus B$ . $A$ ja $B$ ovat toisensa poissulkevia kuten joukko-opissakin: $A \cap B = \varnothing$ . $A$ sattuu aina, kun $B$ sattuu, jos jälkimmäinen sisältyy edelliseen: $B \subset A$ .

Koulumatematiikassa kutsutaan usein perusjoukkoa varmaksi tapahtumaksi. Mittateoreettisesta lähtökohdasta ovat mielenkiintoisia lähinnä yleisemmät melkein varmat tapahtumat, jotka ovat tapahtumia, joiden todennäköisyys on yksi.

[muokkaa] Klassinen todennäköisyysmalli

Yksinkertaisin ja varhaisin todennäköisyysmalli perustuu symmetrisiin alkeistapauksiin, jota kutsutaan myös klassiseksi todennäköisyysmalliksi. Tässä mallissa perusjoukko on

$\Omega = \{ \omega_1 , \omega_2 , \ldots , \omega_n \}$

ja kaikilla $i = 1,\ldots,n$ on

$\mathbb{P} \{ \omega_i \} = \frac{1}{n}$ .

Tämä on erikoistapaus äärellisestä todennäköisyysavaruudesta, joilla jälkimmäistä rajoitusta jakaumalle ei yleisesti ole. Äärellisille todennäköisyysavaruuksille voidaan valita ilman ongelmia sigma-algebraksi potenssijoukko $\mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega)$ .

[muokkaa] Satunnaismuuttuja

Katso myös artikkeli: Todennäköisyysjakauma

Satunnaismuuttuja on $\mathcal{F}$ -mitallinen kuvaus $\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ . Näin määriteltynä se ei siis ole satunnainen eikä muuttuja.

Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttuja lienee iso kirjain, kuten $X$ . Satunnaismuuttujaa merkitään joskus pienellä kirjaimella. Tällöin se tavataan erottaa vakioista, joita myös merkitään yleensä pienillä kirjaimilla, alleviivauksella, kuten $\underline{x}$ , tai painolaadun salliessa lihavoinnilla, kuten $\boldsymbol{x}$ .

Satunnaismuuttujan kertymäfunktio on reaalifunktio

$x \mapsto \mathbb{P} \{ X \le x \}$ .

Se on kaikille satunnaismuuttujille olemassa ja yksikäsitteinen.

Satunnaismuuttuja on diskreetti, jos perusjoukko on numeroituva, ja jatkuva, jos sen kertymäfunktio on derivoituva, jolloin kyseistä derivaattaa kutsutaan tiheysfunktioksi. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole kumpaakaan kutsutaan muun muassa sekatyyppisiksi.

[muokkaa] Riippumattomuus

Riippumattomuus on tärkeä satunnaismuuttujien ja tapahtumien välinen ominaisuus. Satunnaismuuttujat $X$ ja $Y$ ovat riippumattomia, jos yhtälö

$\mathbb{P} ( \{ X \in B_1 \} \cap \{ Y \in B_2 \} ) = \mathbb{P} \{ X \in B_1 \} \mathbb{P} \{ Y \in B_2 \}$

pätee kaikilla Borel-joukoilla $B 1$ ja $B 2$ .

Tapahtumat $A$ ja $B$ ovat riippumattomat, jos satunnaismuuttujat $1 A$ ja $1 B$ ovat riippumattomat, missä $1$ tarkoittaa indikaattorifunktiota. Tämä on yhtä kuin ehto

$\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)$ .

Vastaavat ehdot useammille satunnaismuuttujille ja tapahtumille on pädettävä kaikkien indeksikombinaatioiden yli. Esimerkiksi, tapahtumat $A$ , $B$ ja $C$ ovat riippumattomat, jos kaikki yhtälöt

$\mathbb{P}(A \cap B \cap C)$	$=$	$\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C)$ ,
$\mathbb{P}(A \cap B)$	$=$	$\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$ ,
$\mathbb{P}(A \cap C)$	$=$	$\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(C)$ ,
ja $\mathbb{P}(B \cap C)$	$=$	$\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C)$

pätevät.

[muokkaa] Tunnuslukuja

Satunnaismuuttujan $X$ (absoluuttinen) odotusarvo on sen integraali yli perusjoukon, joka on todennäköisyysmitan avulla merkittynä

$\int_{\Omega} X \, d\mathbb{P}$ .

Sille on vakiintunut merkintä $\mathbb{E}X$ . Satunnaismuuttujan $X$ sanotaan olevan integroituva, jos $\mathbb{E}|X| < \infty$ .

Odotusarvo on satunnaismuuttujan tärkein tunnusluku. Suurten lukujen lakien mukaan satunnaismuuttujan keskiarvo toistokokeessa on likimäärin sen odotusarvo.

Satunnaismuuttujan sanotaan olevan neliöintegroituva, jos $\mathbb{E}X^2 < \infty$ . Neliöintegroituvan satunnaismuuttujan $X$ varianssi on $\mathbb{D}^2 X = \mathbb{E} (X-\mathbb{E}X)^2$ .

[muokkaa] Satunnaismuuttujajonon konvergenssi

Erilaiset konvergenssit ovat tärkeitä satunnaismuuttujien ominaisuuksia. Olkoon $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jono satunnaismuuttujia.

jono suppenee melkein varmasti, jos $\mathbb{P} \{ \limsup_{n \rightarrow \infty} X_n = \liminf_{n \rightarrow \infty} X_n \} = 1$
jono suppenee stokastisesti kohti satunnaismuuttujaa $X$ , jos kaikilla $\varepsilon > 0$ pätee $\mathbb{P} \{ |X_n - X| > \varepsilon \} \rightarrow 0$
jono suppenee jakaumaltaan, jos niiden kertymäfunktioiden jono suppenee pisteittäin jotakin kertymäfunktiota kohti
jos $\mathbb{E} X_n^2 < \infty$ kaikilla $n \in \mathbb{N}$ , niin suppenee kvadraattisesti kohti satunnaismuuttujaa $X$ , jos $\sqrt{ \mathbb{E} (X_n - X)^2 } \rightarrow 0$

Jos jono suppenee kvadraattisesti tai stokastisesti, niin se suppenee myös melkein varmasti. Jos jono suppenee melkein varmasti, niin se suppenee myös jakaumaltaan.

[muokkaa] Ehdollinen todennäköisyys ja odotusarvo

Varsinkin koulumatematiikassa käytetään havainnollista ehdollisen todennäköisyyden määritelmää. Jos tapahtumalle $B$ pätee $\mathbb{P}(B)>0$ , niin tapahtuman $A$ todennäköisyys ehdolla $B$ on

$\mathbb{P}(A \, | \, B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}$ .

Tämä on tulkittava siten, että jos on ikään kuin tieto, että $B$ sattuu eli $\omega \in B$ , niin yllä oleva on todennäköisyys sille, että myös $A$ on sattunut eli $\omega \in A \cap B$ . Tästä lähtökohdasta voidaan todistaa seuraavat ominaisuudet:

Ehdollinen todennäköisyys toteuttaa todennäköisyysmitan määritelmän. Täten mitalla $\mathbb{P}(\cdot \, | \, B)$ on todennäköisyysmitan $\mathbb{P}(\cdot)$ kaikki ominaisuudet. Esimerkiksi, jos $A 1$ ja $A 2$ ovat tapahtumia, niin yhteenlaskukaava pätee muodossa $\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \, | \, B) = \mathbb{P}(A_1 \, | \, B) + \mathbb{P}(A_2 \, | \, B) - \mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \, | \, B)$
jos tapahtumat $A$ ja $B$ ovat riippumattomia, niin $\mathbb{P}(A \, | \, B)=\mathbb{P}(A)$
kertolaskukaava: $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B \, | \, A)$

Satunnaismuuttujan $X$ ehdollinen odotusarvo alisigma-algebralla $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ on $\mathcal{G}$ -mitallinen satunnaismuuttuja $\mathbb{E} (X \, | \, \mathcal{G})$ , jolle yhtälö

$\int_G \mathbb{E} (X \, | \, \mathcal{G}) \, d\mathbb{P} = \int_G X \, d\mathbb{P}$

pätee kaikilla $G \in \mathcal{G}$ . Satunnaismuuttujan $X$ ehdollinen odotusarvo ehdolla satunnaismuuttuja $Y$ on $\mathbb{E}(X \, | \, \sigma(Y))$ , missä $σ(Y)$ tarkoittaa satunnaismuuttujan $Y$ virittämää sigma-algebraa.

On huomattava, että ehdollinen odotusarvo on satunnaismuuttuja, eli funktio, eikä reaaliluku. Ehdollinen odotusarvo ehdolla $G \in \mathcal{G}$ on $\mathbb{E} (X \, | \, \mathcal{G}) (\omega)$ , missä $\omega \in G$ , on reaaliluku.

Ehdollisen odotusarvon ominaisuuksia:

jos $X \geq 0$ , niin $\mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{G}) \geq 0$
$\mathbb{E}(\mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{G})) = \mathbb{E}X$
karkeus voittaa aina eli iteratiivisuus: jos $\mathcal{G} \subset \mathcal{H}$ , niin $\mathbb{E}(\mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{G}) \, | \, \mathcal{H}) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{H}) \,| \, \mathcal{G}) = \mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{G})$
lineaarisuus: jos $c_1 \in \mathbb{R}$ ja $c_2 \in \mathbb{R}$ , niin $\mathbb{E} (c_1 X + c_2 Y \, | \, \mathcal{G} ) = c_1 \mathbb{E} (X \, | \, \mathcal{G} ) + c_2 \mathbb{E} (Y \, | \, \mathcal{G} )$
jos $X$ on $\mathcal{G}$ -mitallinen, niin $\mathbb{E}(X \, | \, \mathcal{G}) = X$
jos $X$ on $\mathcal{G}$ -mitallinen ja rajoitettu, niin $\mathbb{E}(XY \,| \, \mathcal{G}) = X \mathbb{E}(Y \, | \, \mathcal{G})$

Alisigma-algebran $\mathcal{G}$ tulkinta on ikään kuin etukäteen havaittavissa oleva tieto satunnaismuuttujan arvosta. Triviaali sigma-algebra vastaa täydellistä epätietoisuutta, $\mathbb{E}(X \, | \, \{ \varnothing , \Omega \} ) = \mathbb{E}X$ , ja satunnaismuuttujan virittämä sigma-algebra vastaa tarkkaa tietoa sen arvosta, $\mathbb{E} (X \, | \, \sigma(X)) = X$ .

Joukon $A$ ehdollinen todennäköisyys on $\mathbb{P}(A \, | \, \mathcal{B}) = \mathbb{E} (1_A \,| \, \mathcal{B})$ . Tämä yhtenee koulumatematiikan ehdollisen todennäköisyyden kanssa siten, että jos $\omega \in B$ , niin $\mathbb{E}(1_A \, | \, \sigma(1_B)) (\omega) = \mathbb{P}(A \, | \, B)$ .

[muokkaa] Todennäköisyyslaskennan kaavoja

Tapahtuma $A$ ei satu todennäköisyydellä $\mathbb{P}(A^c) = 1-\mathbb{P}(A)$ . Tapahtuma $A$ sattuu, mutta $B$ ei, todennäköisyydellä $\mathbb{P}(A \setminus B) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B)$ . Jos $A$ ja $B$ ovat toisensa poissulkevia, niin $\mathbb{P} (A \cup B) = \mathbb{P} (A) + \mathbb{P} (B)$ . Jos $A$ sattuu aina kun $B$ sattuu, niin $\mathbb{P}(A) \geq \mathbb{P}(B)$ .

[muokkaa] Yhteenlaskukaava

Tapahtuma $A$ tai $B$ sattuu todennäköisyydellä $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$ . Yhteenlaskukaavan yleinen muoto: jos $A_1, \ldots , A_n$ ovat tapahtumia, niin

$\mathbb{P} \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)$	$=$	$\sum_i \mathbb{P} (A_i) - \sum_{i<j} \mathbb{P} (A_i \cap A_j) + \sum_{i_1<i_2<i_3} \mathbb{P} \left( \bigcap_{j=1}^3 A_{i_j} \right)$
		$- \ldots + (-1)^{k-1} \sum_{i_1 < \ldots < i_k} \mathbb{P} \left( \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) + \ldots + \mathbb{P} \left( \bigcap_{j=1}^n A_{i_j} \right)$
	$=$	$\sum_{k=1}^n \left[ (-1)^{k-1} \sum_{i_1 < \ldots < i_k} \mathbb{P} \left( \bigcap_{j=1}^k A_{i_j} \right) \right]$

[muokkaa] Kokonaistodennäköisyyden kaava

Olkoon $B$ tapahtuma ja tapahtumat $A_1, A_2, \ldots , A_n$ perusjoukon ositus. Kokonaistodennäköisyyden kaava:

$\mathbb{P}(B) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(B \, | \, A_i )$ .

[muokkaa] Bayesin kaava

Olkoon $B$ tapahtuma ja tapahtumat $A_1, A_2, \ldots , A_n$ perusjoukon ositus. Bayesin kaava:

kaikilla $k=1,\ldots n$ pätee $\mathbb{P}(A_k \, | \, B) = \frac{\mathbb{P}(A_k)\mathbb{P}(B \, | \, A_k)}{\sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)\mathbb{P}(B \, | \, A_i)}$

Lukua $\mathbb{P}(A_k)$ kutsutaan prioritodennäköisyydeksi ja lukua $\mathbb{P}(A_k \, | \, B)$ posterioritodennäköisyydeksi.

[muokkaa] Tuloperiaate ja summaperiaate

Tuloperiaate: jos satunnaiskoe koostuu $k$ :sta kappaleesta riippumattomia vaiheita siten, että ensimmäisellä vaiheella on $n 1$ eri tulosvaihtoehtoa, toisella vaiheella $n 2$ tulosvaihtoehtoa, ja niin edelleen niin että viimeisellä vaiheella on $n k$ tulosvaihtoehtoa, niin koko kokeella on $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ tulosvaihtoehtoa.

Summaperiaate: jos satunnaiskoe koostuu $k$ :sta kappaleesta toisensa poissulkevia ryhmiä lopputuloksia siten, että ensimmäisessä ryhmässä on $n 1$ tulosvaihtoehtoa, toisessa ryhmässä $n k$ tulosvaihtoehtoa, ja niin edelleen niin että viimeisessä ryhmässä on $n k$ tulosvaihtoehtoa, niin kokeella on $n_1 + n_2 + \ldots + n_k$ tulosvaihtoehtoa.

[muokkaa] Todennäköisyysteorian lauseita

[muokkaa] Konvergenssilauseet

Olkoon $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jono satunnaismuuttujia, jonka raja-arvo

$\lim_{n \rightarrow \infty} X_n$

on melkein varmasti olemassa.

Mittateorian konvergenssilauseet pätevät todennäköisyyden mittateoreettisen määrittelyn vuoksi sellaisenaan, kun integraali korvataan odotusarvolla ja mitallinen funktio satunnaismuuttujalla. Ne voidaan kuitenkin yleistää ehdolliselle odotusarvolle siten, että jonon raja-arvon oton ja ehdollisen odotusarvon oton järjestyksen voi vaihtaa:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E} (X_n \, | \, \mathcal{G}) = \mathbb{E} (\lim_{n \rightarrow \infty} X_n \, | \, \mathcal{G})$ melkein varmasti,

missä $\mathcal{G}$ on sigma-algebra.

[muokkaa] Monotonisen konvergenssin lause

Oletetaan, että toinen alla olevista ehdoista on voimassa:

$X_n \leq X_{n+1}$ on melkein varmasti kaikilla $n \in \mathbb{N}$ ja jollakin $n \in \mathbb{N}$ pätee melkein varmasti $\mathbb{E}(X_n \, | \, \mathcal{G}) > -\infty$
$X_n \geq X_{n+1}$ on melkein varmasti kaikilla $n \in \mathbb{N}$ ja jollakin $n \in \mathbb{N}$ pätee melkein varmasti $\mathbb{E}(X_n \, | \, \mathcal{G}) < \infty$

Tällöin raja-arvon ja ehdollisen odotusarvon järjestyksen voi vaihtaa.

[muokkaa] Dominoidun konvergenssin lause

Jos on olemassa integroituva satunnaismuuttuja $Y$ siten, että $|X_n| \leq Y$ melkein varmasti kaikilla $n \in \mathbb{N}$ , niin raja-arvon ja ehdollisen odotusarvon järjestyksen voi vaihtaa.

[muokkaa] Fatoun lemma

Olkoon $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jono satunnaismuuttujia. Myös mittateorian Fatoun lemma voidaan yleistää ehdolliselle odotusarvolle:

$\mathbb{E} (\liminf_{n \rightarrow \infty} X_n \, | \, \mathcal{G}) \leq \liminf_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E} ( X_n \, | \, \mathcal{G})$

$\mathbb{E} (\limsup_{n \rightarrow \infty} X_n \, | \, \mathcal{G}) \geq \limsup_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E} ( X_n \, | \, \mathcal{G})$ ,

missä $\mathcal{G}$ on sigma-algebra.

[muokkaa] Suurten lukujen lait

Todennäköisyyslaskennassa suurten lukujen laeiksi kutsutaan riittäviä ehtoja sille, että satunnaismuuttujajonon keskiarvo suppenee (jollakin tavalla) kohti sen keskiarvon odotusarvoa.

Jos kyseessä on erityisesti toistokoe, niin suurten lukujen lain voidaan tulkita ehdoksi sille, että kokeiden tulosten keskiarvo lähestyy kokeen odotusarvoa. Esimerkiksi rahan heitossa kruunien ja klaavojen suhteelliset frekvenssit lähestyvät puolikasta ja toisiaan, kun rahan heittämistä jatketaan. Suurten lukujen laki ei kuitenkaan tarkoita, että kruunien ja klaavojen lukumääräfrekvenssit lähestyisivät toisiaan. Suhteellisten frekvenssien lähestyminen ei edellytä tätä.

[muokkaa] Kolmogorovin vahva suurten lukujen laki

Jos satunnaismuuttujat $X n$ , $n \in \mathbb{N}$ , ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja $\mathbb{E} |X_1| < \infty$ , niin jonon keskiarvo suppenee melkein varmasti kohti satunnaismuuttujien odotusarvoa, toisin sanoen

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \rightarrow \mathbb{E} X_1$

melkein varmasti kun $n \rightarrow \infty$ .

[muokkaa] Keskeinen raja-arvolause

Jos satunnaismuuttujat $X n$ , $n \in \mathbb{N}$ , ovat riippumattomia, samoin jakautuneita ja $0<\mathbb{D}^2 X_1<\infty$ , niin jonon normeerattu keskiarvo

$\sum_{i=1}^n \frac{X_i - \mathbb{E} X_1}{\sqrt{n\mathbb{D}^2 X_1}}$

suppenee jakaumaltaan kohti standardinormaalijakaumaa. Tulos pätee myös lievemmällä oletuksella, jota kutsutaan Lindebergin ehdoksi, nimetty suomalaisen matemaatikko J.W. Lindebergin mukaan. Hän todisti ehdon riittävyyden, mikä on kenties merkittävin yksittäinen suomalaisen matemaatikon tulos - kyseinen ehto on nimittäin myös (tietyn tasapainoehdon vallitessa) välttämätön ehto lauseen pätemiselle, ja siten ratkaisu 1900-luvun alkupuolella vaikuttaneeseen keskeiseen raja-arvoprobleemaan.

[muokkaa] Kolmogorovin 0–1-laki

Olkoon $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jono riippumattomia satunnaismuuttujia. Merkitään äärettömän kaukaisista jonon $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ arvoista riippuvien tapahtumien sigma-algebraa symbolilla

$\mathcal{F} = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \sigma (X_n, X_{n+1}, \ldots)$ .

Jos tapahtuma $F \in \mathcal{F}$ , niin

$\mathbb{P}(F)=0$ tai $\mathbb{P}(F)=1$ .

Borelin–Cantellin lemma on erikoistapaus Kolmogorovin 0–1-laista.

[muokkaa] Borelin–Cantellin lemma

Olkoon $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jono riippumattomia tapahtumia. Tällöin

$\mathbb{P} (\limsup_{n \rightarrow \infty} A_n) = 0$ tai $\mathbb{P} (\limsup_{n \rightarrow \infty} A_n) = 1$ .

Borelin–Cantellin lemmalla voidaan todistaa väite: "Jos apina paukuttaa kirjoituskoneella umpimähkäisesti äärettömän pitkään, kirjoittaa se lopulta kaikki Shakespearen teokset."

[muokkaa] Artikkeleita todennäköisyyslaskennasta

[muokkaa] Kirjallisuutta

Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (1996).
- Korkeakoulutason oppikirja todennäköisyyslaskentaan
Gustav Elfving ja Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta II. Limes ry (1990).
- Korkeakoulutason oppikirja todennäköisyysteoriaan

[muokkaa] Aiheesta muualla

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../t/o/d/Todenn%C3%A4k%C3%B6isyys.html

Luokka: Todennäköisyyslaskenta

We provide Linux to the World