סיגמא-אלגברה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

סיגמא-אלגברה $\mathcal{A}$ היא משפחה של תת-קבוצות של קבוצה מסוימת $\,X$ המקיימת את תכונות הסגירות הבאות:

היא מכילה את הקבוצה הריקה ואת $\,X$ , כלומר: $\ \emptyset , X \in \mathcal{A}$ .
אם $\ A \in \mathcal{A}$ אזי $\ A^c \in \mathcal{A}$ . כלומר, היא סגורה לפעולת לקיחת משלים $\ A^c = X - A$ .
סגירות ביחס לאיחוד בן מנייה: אם $\ A_1 , A_2, \cdots \in \mathcal{A}$ אז $\ \bigcup_{n}{A_n} \in \mathcal{A}$ .
סגירות ביחס לחיתוך בן מנייה.

כאשר תכונה 4 היא מסקנה מתכונות 2 ו-3 באמצעות כללי דה מורגן.

זוג סדור $\ ( S , \mathcal{A} )$ , כש- $\,S$ קבוצה ו- $\mathcal{A}$ הוא $\,\sigma$ -אלגברה מעל $\,S$ , נקרא מרחב מדיד. בצירוף פונקציית מידה $\,\mu$ השלשה הסדורה $\ ( S, \mathcal{A}, \mu )$ נקראת מרחב מידה.

[עריכה] דוגמאות

הסיגמא-אלגברה הטריוויאלית המינימלית: מכילה רק את $\,X$ ואת הקבוצה הריקה.
הסיגמא-אלגברה הטריוויאלית המקסימלית: מכילה את כל התת-קבוצות של $\,X$ ולמעשה, שווה לקבוצת החזקה של $\,X$ .
לכל משפחה של סיגמא-אלגברות מעל $\,X$ , גם החיתוך שלהן הוא סיגמא-אלגברה.
הסיגמא-אלגברה של בורל: הסיגמא אלגברה המכילה את כל קבוצות בורל, היא הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות והקבוצות הסגורות. היא מכילה:
- קבוצות סגורות, קבוצות פתוחות, קטעים מכל הסוגים, קרניים (קטע עם קצה אחד שהוא אינסופי).
- $\ G_\delta$ = קבוצה שהיא חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות. זהו סוג של קבוצת בורל.
- $\ F_\sigma$ = קבוצה שהיא איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות. זהו סוג של קבוצת בורל.