Tökéletes számok

A Wikipédiából, a szabad lexikonból.

A számelméletben tökéletes számnak nevezzük azokat az egészeket, amelyek megegyeznek osztóik összegével (az 1-et beleértve, önmagukat kivéve).

A legkisebb tökéletes szám a 6, amelynek önmagánál kisebb osztói az 1, a 2 és a 3, ezek összege pedig 1 + 2 + 3 = 6. A második legkisebb tökéletes szám a 28, melynek osztói az 1, 2, 4, 7 és 14 számok. A soron következő két tökéletes szám a 496 és a 8128.

[szerkesztés] Történetük

Az ókori görögök csak a négy legkisebb tökéletes számot (6, 28, 496, 8128) ismerték.

Az ókori görög matematikus, Euklidész felfedezte, hogy az első négy tökéletes szám felírható 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) alakban:

n = 2-re:   2¹(2² − 1) = 6

n = 3-re:   2²(2³ − 1) = 28

n = 5-re:   2⁴(2⁵ − 1) = 496

n = 7-re:   2⁶(2⁷ − 1) = 8128

Észrevéve, hogy 2ⁿ − 1 minden esetben prímszám, Euklidész bebizonyította, hogy minden olyan esetben, amikor 2ⁿ − 1 prím, 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) tökéletes szám.

Az ókori matematikusok az első négy szám megfigyelése alapján további feltételezésekkel éltek, ám ezek zöme hamisnak bizonyult. Az egyik ilyen feltételezés szerint az ötödik természetes szám az n = 11 értékre adódik, mivel az első négy esetben n az első négy prímszám (2, 3, 5, 7) értékét veszi fel, „logikusnak” tűnt tehát, hogy az ötödik prímszám az ötödik természetes számot adja. Ez azonban nem igaz. Hasonló módon hamisnak bizonyultak a következő feltételezések:

• Az ötödik tökéletes számnak öt számjegye van, mert az első négy is rendre egy, kettő, három ill. négy jegyből áll.
• A tökéletes számok sorba rendezve felváltva 6-ra és 8-ra végződnek.

Az ötödik tökéletes szám (33 550 336) nyolc számjegyből áll, megdöntve a második feltételezést, viszont valóban 6-ra végződik. Azonban a következő, hatodik tökéletes szám (8 589 869 056) is 6-ra végződik, tehát a harmadik feltételezés is hamis. (Az, hogy minden páros tökéletes szám 6-ra vagy 8-ra végződik, könnyen megmutatható.)

Az is megmutatható, hogy ha 2ⁿ − 1 prím, akkor n is az, de fordítva nem feltétlenül igaz. Azokat a prímeket, amelyek felírhatók 2ⁿ − 1 alakban, Mersenne-prímeknek nevezzük a 17. században élt francia szerzetes, Marin Mersenne után.

Nikomakhosz Geraszénosz (Kr. u. I. szd. vége) Arithmétikhé eiszagogé (Bevezetés az aritmetikába) c. művében megfogalmazta a sejtést, hogy Euklidész képlete, 2n−1(2n − 1) az összes páros tökéletes számot kiadja. Ezt több mint másfél ezer évvel utána Leonhard Euler bizonyította be. Ennek egyenes következménye, hogy az összes Mersenne-prímhez találunk tökéletes számot, sőt, a két számcsoport között egy-az-egyhez megfeleltés létezik.

Jelenleg véges sok Mersenne-prímet ismerünk, és azt sem tudjuk, hogy vajon végtelen sok ilyen prím van-e. Ennek megfelelően az sem ismert, hogy a tökéletes számok végtelen sokan vannak-e. De nem lehetnek túl sokan: nulla sűrűségű sorozatot alkotnak (H.-J. Kanold, 1954).

Nyitott kérdés, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok. Számos eredmény született ebben a témában, de egyik sem mutatott rá egy páratlan tökéletes számra vagy cáfolta ezek létezését. Ismert például, hogy minden n-re csak véges sok olyan páratlan tökéletes szám lehet, aminek n különböző prímtényezője van (L. E. Dickson 1913). Tudjuk, hogy ha létezik ilyen szám, akkor biztosan nagyobb, mint 10³⁰⁰ (R. P. Brent, G. L. Cohen, H. J. J. te Riele, 1991). Tudjuk továbbá, hogy legalább nyolc különböző prímosztója kell, hogy legyen (legalább tizenegy, ha a 3 nincs köztük), a prímtényezős felbontása legalább 47 tagból kell, hogy álljon, az egyik tényező nagyobb, mint 10⁷, két tényező nagyobb, mint 10⁴, további három tényező pedig nagyobb, mint 100.

[szerkesztés] Más számcsoportok

Az osztók összege alapján más számcsoportokat is megkülönböztetünk. Azokat a számokat, ahol az osztók összege kisebb a számnál, hiányos számoknak nevezzük, amelyeknél pedig nagyobb, azokat bővelkedő számoknak. Azokat a számpárokat, amelyekre igaz, hogy az egyik szám osztóinak összege a másik számmal egyenlő (és fordítva) barátságos számoknak hívjuk. Ezek az elnevezések mind az ókori görögöktől származnak, akik az ilyen számoknak különleges jelentőséget tulajdonítottak.

[szerkesztés] Külső hivatkozások

• Sulinet az összetett számokról
• David Moews: Tökéletes és barátságos számok (angol nyelvű)
• Tökéletes számok (angol nyelvű)