מספר משוכלל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

יש לך הודעות חדשות (השווה לגרסה הקודמת).

מספר משוכלל (או: מספר מושלם) הוא מספר טבעי השווה לסכום כל המספרים הטבעיים הקטנים ממנו המחלקים אותו ללא שארית. המספר המשוכלל הראשון הוא 6=1+2+3, ואחריו באים 28=1+2+4+7+14, 496 ו־8128. עיקר העניין במספרים משוכללים היה בימי הביניים, מסיבות נומרולוגיות.

ארבעת המספרים המשוכללים הראשונים היו ידועים כבר ליוונים הקדמונים. אוקלידס היה הראשון שהבחין שכל המספרים האלה תואמים לתבנית $2^{n-1}\left(2^n-1\right)$ , כאשר $\left(2^n-1\right)$ הוא מספר ראשוני (ההוכחה לכך שכל מספר מצורה זו הוא אכן משוכלל מובאת בהמשך). מספרים אלו הם גם סכומי כל הטבעיים עד $\left(2^n-1\right)$ . רק בשנת 1356 התגלה המספר המשוכלל החמישי, הוא 33,550,336, שגם הוא תואם לנוסחה של אוקלידס (עם n=13). היום ידוע שכל מספר משוכלל זוגי מסתיים בספרה 6 או 8.

כדי ש־ $\left(2^n-1\right)$ יהיה ראשוני, נדרש שגם n עצמו יהיה ראשוני. מספרים ראשוניים מן הצורה הזו נקראים מספרי מרסן, על-שמו של המתמטיקאי הצרפתי מרן מרסן (Marin Mersenne), שהודיע - בטעות - על מציאת מספרים משוכללים חדשים בשנת 1644.

לא קשה להראות שכל מספר משוכלל זוגי מתאים לתבנית שמצא אוקלידס. השאלה האם קיימים אינסוף מספרים משוכללים זוגיים, או לחילופין האם קיימים אינסוף מספרי מרסן, עודנה פתוחה (2005). מצד שני, לא ידוע האם קיים ולו מספר משוכלל אי-זוגי אחד (כן ידוע שאם קיים מספר כזה, הוא לפחות בן 300 ספרות עשרוניות).

בשנת 1952 החלו להיעזר במחשבים לשם מציאת מספרים משוכללים ובאותה שנה כבר נודעו 17 מספרים שכאלה. מאז ממשיך החיפוש ביתר שאת בעזרת מחשבי-על, וכיום (ספטמבר 2006) ידועים כבר 44 מספרים משוכללים, אולם שאלתו של אוקלידס נותרה בלתי פתורה.

מספר משוכלל הוא מספר המקיים את המשוואה $\ \sigma(n) = 2n$ כאשר $\ \sigma()$ היא פונקציית סכום המחלקים. מספרים שעבורם $\ \sigma(n) < 2n$ נקראים מספרים חסרים, ואלו שעבורם $\ \sigma(n) > 2n$ נקראים מספרים שופעים.

הראשון מחכמי ישראל שמזכיר מספרים משוכללים, הוא רבי אברהם בן עזרא בפירושו לתורה (שמות ג' יד), הוא מכנה אותו "מספר שוה".

[עריכה] מספרים מושלמים בנומרולוגיה

פרופסור מאיר בר אילן, מאוניברסיטת בר אילן, טוען שהמספר 127 סימל בעולם העתיק שלמות, מהיות המספר המושלם 8128 סכום כל המספרים מ 1 עד 127. למשל, שרה חיה 127 שנים כסמל לכך שחייה היו שלמים, ממלכתו של אחשוורוש במגילת אסתר הכילה 127 מדינות, ובקרב סאלאמיס הכיל הצי של אתיקה 127 אוניות, מספר שלפי הנס דלברוק הוא בלתי אפשרי בעליל.

[עריכה] ההוכחה של אוקלידס

נתון שהמספר $\left(2^n-1\right)$ ראשוני, שנסמן מעתה באות $\,p$ . עלינו להוכיח שהמספר $(2^{n-1})\cdot p$ הינו מספר משוכלל.

ראשית נמצא את כל מחלקיו של המספר:

$\{1,2,4,8,\ldots,2^{n-1}\}\cup \{p,2p,4p,8p,\ldots,2^{n-1}\cdot p\}$

כעת נראה כי סכום איברים אלה (מלבד המספר עצמו) שווה למספר עצמו. נחשב את המספר כך:

$1+2+4+8+\ldots+2^{n-1}+(1+2+4+8+\ldots+2^{n-2})\cdot p$

ומאחר שסכום כל חזקות ה-2 עד $\,m$ (כלשהו) שווה ל: $\!\, 2^{m+1}-1$ , ניתן לכתוב סכום זה כך:

$2^n-1+(2^{n-1}-1)\cdot p=(2^{n-1}-1)\cdot p+p=(2^{n-1})\cdot p$

וזהו בדיוק המספר המקורי, ובכך הושלמה ההוכחה.

[עריכה] תוכניות מחשב לבדיקת מספרים משוכללים

פונקציה הכתובה בשפת C לבדיקה האם מספר נתון הוא מספר משוכלל:

int isMagic(int n) {

   int i, count = 0;
   for(i=1; i <= n/2; i++)
           if(n % i == 0)
                count = count + i;
   if(count == n)
            return(1);
   return(0);

}