Liczby doskonałe

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych.

Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = 3 + 2 + 1. Następną jest 28 (28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1), a kolejne to 496, 8128 i 33550336.

W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

Okazuje się, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2^p-1)·2^p-1, gdzie 2^p-1 jest liczbą pierwszą. Nietrudno pokazać, że przy tym założeniu również p jest liczbą pierwszą – tak więc liczby doskonałe parzyste są bezpośrednio związane z liczbami pierwszymi Mersenne'a.

Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 2^32582656·(2^32582657-1) – liczy ona 19 616 714 cyfr.

Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, nie ma też dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci $p^{4k+1}l^2\,$ , gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4l+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 10³⁰⁰ (dane z roku 1990).