จำนวนสมบูรณ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

จำนวนสมบูรณ์ (perfect number) คือ จำนวนเต็มที่มีผลบวกของตัวหารแท้ เท่ากับตัวมันเอง

หก (6) เป็นจำนวนสมบูรณ์ตัวแรก เพราะว่า 6 มีตัวหารแท้คือ 1, 2, 3 และ 1 + 2 + 3 = 6. จำนวนสมบูรณ์ตัวถัดไปคือ 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. จำนวนสมบูรณ์ตัวถัดไปอีกคือ 498 และ 8128.

จำนวนสมบูรณ์สี่ตัวแรกนั้นถูกค้นพบโดยชาวกรีกโบราณ

[แก้] จำนวนสมบูรณ์คู่

ยุคลิดได้ค้นพบว่า จำนวนสมบูรณ์สี่ตัวแรกนั้นสามารถหาโดยใช้สูตร 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) ได้

สำหรับ n = 2: 2¹(2² − 1) = 6

สำหรับ n = 3: 2²(2³ − 1) = 28

สำหรับ n = 5: 2⁴(2⁵ − 1) = 496

สำหรับ n = 7: 2⁶(2⁷ − 1) = 8128

สังเกตว่าในแต่ละตัวอย่างที่ยกมา 2ⁿ − 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น ยุคลิดได้พิสูจน์ว่า ถ้า 2ⁿ − 1 เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว สูตร 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) จะให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์คู่เสมอ

นักคณิตศาสตร์สมัยก่อน ได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับจำนวนสมบูรณ์จากจำนวนสมบูรณ์ที่เขารู้เพียง 4 ตัว ซึ่งสมมติฐานที่เขาได้ตั้งส่วนใหญ่จะผิด เช่น สมมติฐานที่ว่า เพราะว่า n = 2, 3, 5, 7 เป็นจำนวนเฉพาะ 4 ตัวแรก ที่นำไปแทนในสูตรแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์ ดังนั้น n = 11 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะตัวที่ 5 จะทำให้ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสมบูรณ์เช่นกัน อย่างไรก็ตาม 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 · 89 ซึ่งไม่เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น สมมติฐานนี้จึงผิด สมมติฐานที่ผิดอีกสองข้อ ได้แก่

จำนวนสมบูรณ์ตัวที่ 5 จะต้องมี 5 หลัก เพราะว่าจำนวนสมบูรณ์ 4 ตัวแรกมี 1, 2, 3, 4 หลัก ตามลำดับ
จำนวนสมบูรณ์จะลงท้ายด้วยเลข 6 หรือ 8 สลับกันเสมอ

จำนวนสมบูรณ์ตัวที่ห้า ( $33550336 = 2 12 (2 13 - 1)$ ) มี 8 หลัก ดังนั้นสมมติฐานข้อแรกจึงผิด. สำหรับสมมติฐานข้อสองนั้น แม้ว่าจำนวนสมบูรณ์ตัวที่ห้า จะลงท้ายด้วยเลข 6 แต่จำนวนสมบูรณ์ตัวที่หก (8 589 869 056) ไม่ได้ลงท้ายด้วยเลข 8 สมมติฐานข้อสองจึงผิด. เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนสมบูรณ์จะมีเลขหลักสุดท้ายเป็น 6 หรือ 8 เสมอ (แต่ไม่จำเป็นต้องสลับกัน)

คุณสมบัติของจำนวนสมบูรณ์อันหนึ่งที่น่าสนใจก็คือ ส่วนกลับของตัวประกอบของจำนวนสมบูรณ์ จะรวมกันได้ 2 เสมอ เช่น

สำหรับ 6, จะได้ $1 / 6 + 1 / 3 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2$
สำหรับ 28, จะได้ $1 / 28 + 1 / 14 + 1 / 7 + 1 / 4 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2$

[แก้] จำนวนสมบูรณ์คี่

ยังไม่มีใครรู้ว่าจำนวนสมบูรณ์คี่นั้นมีอยู่จริงหรือไม่ เมื่อไม่นานมานี้ Carl Pomerance และ Joshua Zelinsky ได้แสดงฮิวริสติกว่าไม่มีจำนวนสมบูรณ์คี่อยู่จริง

สมมติว่ามีจำนวนสมบูรณ์คี่ N อยู่จริงแล้ว มันจะต้องมีคุณสมบัติต่อไปนี้

N จะอยู่ในรูป

$N=q^{\alpha} p_1^{2e_1} \ldots p_k^{2e_k},$

เมื่อ q, p₁, …, p_k คือ จำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (ออยเลอร์)

N จะมากกว่า 10³⁰⁰
N จะอยู่ในรูป 4j + 1 (A. Stern, 1896)
N จะมีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันอย่างน้อย 8 ตัว (และอย่างน้อย 11 ตัว ถ้ามันหาร 3 ไม่ลงตัว) (Peter Hagis)
N จะมีตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดอย่างน้อย 75 ตัว, รวมที่นับซ้ำด้วย (Kevin Hare, 2005)
N จะมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 1 ตัวที่มากกว่า 10⁷, ตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 2 ตัวที่มากกว่า 10⁴, ตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 3 ตัวที่มากกว่า 100
N จะน้อยกว่า $2^{4^{n}}$ เมื่อ n=k+1 คือ จำนวนตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกัน
N จะอยู่ในรูป 12j + 1 หริอ 36j + 9 (Jacques Touchard) (วิธีพิสูจน์พื้นฐานถูกค้นพบโดย Judy A. Holdener)