Numero perfetto

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Un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso sé stesso.

Ad esempio, il numero 28, divisibile per 1, 2, 4, 7, 14 è un numero perfetto (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14): lo stesso per 6 che è divisibile per 1, 2 e 3.

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivelò che se 2ⁿ⁺¹ - 1 è un numero primo, allora 2ⁿ · (2ⁿ⁺¹ - 1) è perfetto. Successivamente Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma.

Esempio: 6 = 2¹ · (2² - 1)

Da questo risulta che ogni numero perfetto pari è necessariamente:

un numero triangolare, visto che si può scrivere

$2^n (2^{n+1}-1) = {(2^{n+1}-1)(2^{n+1}-1+1) \over 2} = {k(k+1) \over 2}$

un numero esagonale, visto che si può scrivere

$2^n (2^{n+1}-1) \,=\, 2^{2n+1} - 2^n= 2k^2-k$

I primi 10 numeri perfetti sono:

6
28
496
8128
335.50336 (8 cifre)
85898.69056 (10 cifre)
13.74386.91328 (12 cifre)
2305.84300.81399.52128 (19 cifre)
26.58455.99156.98317.44654.69261.59538.42176 (37 cifre)
1915.61942.60823.61072.94793.37808.43036.38130.99732.15481.69216 (54 cifre)

L'undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 279 cifre.

Non si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito, né se esistano numeri perfetti dispari (quelli conosciuti sono tutti pari).

Se la somma dei divisori è maggiore del numero, esso si dice abbondante, se risulta minore, verrà chiamato difettivo.

Benché esistano infiniti numeri lievemente difettivi, cioè difettivi solo per un'unità, ad esempio 4, i cui divisori sono 1 e 2, la cui somma è uguale a 3, nessuno è ancora riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti.

Più in generale, i numeri lievemente difettivi sono uguali a:

2ⁿ · 2ⁿ⁺¹

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

Perfect, amicable and sociable numbers di David Moews
Perfect numbers - History and Theory in MacTutor
Perfect Number in MathWorld
Sequence A000396 della On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

[modifica] Bibliografia

Kevin Hare (2005): New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number. Preprint disponibile nella pagina web dell'autore.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../n/u/m/Numero_perfetto.html"

Categorie: Numeri | Teoria dei numeri