Conjecture

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En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.

Une conjecture peut également être dénommée hypothèse.

Sommaire

1 Antichambre d'un théorème ou pièce instable du puzzle mathématique ?
2 Exemples de conjectures célèbres
3 Exemples de travaux en cours
4 Divers

[modifier] Antichambre d'un théorème ou pièce instable du puzzle mathématique ?

Quand il se trouve - qu'après un travail mathématique rigoureux de démonstration - une conjecture est vraie, elle devient théorème et rejoint le royaume des faits mathématiques. Jusqu'à ce stade ultime de véracité, les mathématiciens doivent donc faire extrêmement attention lorsqu'ils font appel à une conjecture dans leurs structures logiques et leurs démonstrations.

Par exemple, l'hypothèse de Riemann est une conjecture de la théorie des nombres qui énonce (entre autres choses) des prévisions sur la distribution des nombres premiers. Peu de théoriciens des nombres doutent du fait que l'hypothèse de Riemann soit vraie. Dans l'attente de sa preuve éventuelle, certains mathématiciens développent d'autres démonstrations qui reposent sur la vérité de cette conjecture. Cependant, ces « preuves » tomberaient en morceaux si cette hypothèse de Riemann se révélait fausse ou indécidable. Il y a donc un intérêt mathématique majeur à démontrer la vérité ou la fausseté des conjectures mathématiques pendantes.

Bien que la plupart des conjectures les plus célèbres aient été vérifiées pour des kyrielles étonnantes de nombres, cela ne constitue pas une garantie contre un simple contre-exemple, qui réfuterait immédiatement la conjecture considérée. Par exemple, la conjecture de Syracuse - qui concerne l'arrêt d'une certaine suite de nombres entiers - a été examinée pour tous les nombres entiers jusqu'à 1,2 × 10¹² (soit plus d'un million de millions). Cependant, elle a toujours le statut de conjecture car il peut toujours exister un contre-exemple de valeurs qui pourrait être trouvées au dela de 1,2 × 10¹² et qui infirmeraient son énoncé.

Toutes les conjectures ne finissent pas par être établies comme vraies ou fausses. Par exemple, l'hypothèse du continu - qui essaye d'établir la cardinalité relative de certains ensembles infinis - s'est avérée indécidable à partir de l'ensemble des axiomes généralement admis de la théorie des ensembles. Il est donc possible d'adopter cette assertion, ou sa négation, comme nouvel axiome de façon cohérente (comme nous pouvons également supposer le postulat de la parallèle d'Euclide comme vrai ou faux).

[modifier] Exemples de conjectures célèbres

Les conjectures célèbres comprennent à ce jour :

l'affirmation "Il n'y a aucun nombre parfait impair",
le "dernier théorème de Fermat" (formulé en 1670 et résolu en 1995),
la conjecture de Goldbach (formulée en 1742),
l'hypothèse de Riemann (formulée en 1859),
la conjecture de Poincaré (formulée en 1904 et résolue en 2003),
la conjecture de Syracuse (formulée dans les années 1950),
la conjecture abc (formulée en 1985),
la conjecture P ≠ NP,
la conjecture des nombres premiers jumeaux,
la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.

Jusqu'à sa preuve en 1995, la plus célèbre de toutes les conjectures était celle dénommée "le dernier théorème de Fermat". Ce n'est qu'après sa démonstration par le mathématicien Andrew Wiles que cette conjecture devint théorème. La démonstration consista à prouver un cas particulier de la conjecture de Taniyama-Shimura, problème alors en attente de résolution pendant une quarantaine d'années. On savait en effet que le dernier théorème de Fermat découlait de ce cas particulier. Le théorème complet de Taniyama-Shimura fut finalement démontré en 1999 par Breuil, Conrad, Diamond, et Taylor qui, en s'appuyant sur le travail de Wiles, remplirent par sauts de puce les cas restants jusqu'à la démonstration du résultat complet.

[modifier] Exemples de travaux en cours

Le programme de Langlands est un enchaînement de grande envergure qui vise l'unification des conjectures reliant différents champs des mathématiques : la théorie des nombres et la théorie de la représentation des groupes de Lie, certaines de ces conjectures ayant été depuis démontrées.