Functie (wiskunde)
In de wiskunde drukt een functie een afhankelijkheid uit van één element van een ander. Meestal wordt het begrip gebruikt in de traditionele context waarin deze elementen getallen zijn. Een functie f is dan een afbeelding van getallen, die voorschrijft wat de functiewaarde f(x) is van het argument x. De functie f(x) = 2x bijvoorbeeld bepaalt van elk reëel getal x als functiewaarde f(x) = 2x het dubbele van dit getal. Deze opvatting van het begrip functie is niet algemeen.
Het begrip functie heeft in het Nederlandse taalgebied geen eenduidige betekenis, zij het dat de nuanceverschillen gering en van ondergeschikte betekenis zijn. Enerzijds is er de opvatting dat een functie een relatie is die voor ieder 'origineel' maximaal één 'beeld' heeft; dit wordt door sommigen ook wel een partiële functie genoemd. Anderszins, ook in andere taalgebieden, is er de opvatting een functie als synoniem te beschouwen van afbeelding, dus een relatie die voor ieder 'origineel' precies één 'beeld' heeft,
Inhoud |
[bewerk] Definitie als partiële functie
Een (partiële) functie f is een relatie tussen twee verzamelingen A en B met de eigenschap dat aan ieder element a uit A hoogstens één element uit B wordt gekoppeld.
Opmerking: een dergelijke relatie wordt ook wel eens een 'functionele relatie' genoemd.
Het is voor een partiële functie dus mogelijk dat elementen van de verzameling A geen functiewaarde hebben. Dat is in het algemeen slechts van geringe, formele betekenis, aangezien men in praktische gevallen voornamelijk geïnteresseerd is in de argumenten waarvoor wel een functiewaarde bestaat. Men moet echter goed opletten niet een functiewaarde te willen berekenen voor een argument waarvoor de functie niet gedefinieerd is.
[bewerk] Definitie als afbeelding
Een functie f is een relatie tussen twee verzamelingen A en B, met de eigenschap dat aan ieder element a uit A precies één element b uit B wordt gekoppeld.
Men noteert de functie als f: A → B en het unieke element b uit B dat door f aan het element a uit A wordt toegevoegd als b = f(a). Het getal a wordt een origineel genoemd en het getal f(a) de functiewaarde in het punt a. De verzameling A heet het domein (of definitiegebied) van f; de verzameling B wordt wel het codomein van f genoemd. Met het bereik f(A) van f wordt de deelverzameling van B aangeduid die bestaat uit de beelden van de elementen van A.
[bewerk] Voorbeelden
- Het benzineverbruik van een auto hangt af van de snelheid waarmee gereden wordt. Voor een bepaald type auto is onder standaardcondities van weg en weersomstandigheden, het benzineverbruik een (partiële) functie van de snelheid. Omdat niet gespecificeerd is welke waarden van de snelheid beschouwd worden, weten we niet of het benzinevebruik voor al deze waarden bekend is. Mogelijk kan de auto sommige snelheden niet eens bereiken.
- De functie f : R\{0} → R, gegeven door het voorschrift f(x)=|1/x| verbindt ieder reëel getal ongelijk aan 0 met de absolute waarde van zijn inverse. Het domein wordt hier gevormd door alle reële getallen behalve 0, het codomein door alle reële getallen en het bereik is gelijk aan alle reële getallen die groter dan 0 zijn.
[bewerk] Geschiedenis
Het woord ‘functio’ wordt voor het eerst gebruikt door Leibniz in 1673 in zijn manuscript “Methodus tangentium inversa, seu de functionibus” en is afgeleid van het Latijnse werkwoord fungor (ik voer een taak uit). Leibniz beschouwt een functie als een grootheid verbonden met een kromme, die ten opzichte van de kromme een bepaalde taak uitvoert, ofwel, een ‘wiskundige taak’.
In 1718 definieert de van oorsprong Zwitserse wiskundige Johann Bernoulli een functie als: "[On appelle fonction] d'une grandeur variable une quantité composée de quelque manière que ce soit de cette grandeur variable et de constantes." en maakt hij gebruik van een notatie voor een functie waarbij hij X schrijft voor een grootheid die van x afhankelijk is, en daarnaast nog een nummer boven de X indien er sprake is van meer variabelen die van x afhankelijk zijn.
De definitie van Euler uit 1748 stelt: "Eine Function einer veränderlichen Zahlgrösse ist ein analytischer Ausdruck, der auf irgend eine Weise aus der veränderlichen Zahlgrösse und aus eigentlichen Zahlen oder aus constanten Zahlgröossen zusammengestellt ist.". En deze verschilt dus niet wezenlijk van die van Bernoulli uit 1718. Echter, de definitie die Euler in 1755 aan het begrip functie geeft, verschilt vrijwel compleet. Hij schrijft:
"If some quantities so depend on other quantities that if the latter are changed the for- mer undergo change, then the former quantities are called functions of the latter. This denomination is of broadest nature and comprises every method by means of which one quantity could be determined by others. If therefore, x denotes a variable quantity, then all quantities which depend upon x in any way or are determined by it are called functions of it."
De moderne, formele definitie van een functie hebben we te danken aan Johann Dirichlet en dateert uit de 19e eeuw.
[bewerk] Eigenschappen van functies
Net als bij afbeeldingen zijn er injectieve, surjectieve en bijectieve functies en bestaat er voor een bijectieve functie een inverse.
