Funkcia

Z Wikipédie

Pojem zobrazenia alebo funkcie, ako sa tiež často nazýva, patrí medzi najzákladnejšie v matematike. Pôvodne vznikol ako abstrakcia vzťahov a pozorovaných zákonitostí v prírodných vedách (napr. veľkosť gravitačnej sily, ktorou je priťahované teleso k inému telesu, závisí od ich hmotností; počet jedincov za určitých podmienok je závislý od času a i.). Zobrazenie vyjadruje pravidlo, ktoré nejakému prvku jednej množiny priradí práve jeden prvok inej množiny.

[úprava] Definícia

Zobrazenie (funkcia) $\varphi$ z množiny A do množiny B je ľubovoľná podmnožina karteziánskeho súčinu $A\times B$ , ktorá spĺňa nasledovné vlastnosti:

$\forall a \in A \exists b\in B: (a,b)\in \varphi$ ,
$\forall a \in A, \forall b_1,b_2 \in B$ ak $(a,b_1)\in\varphi, (a,b_2)\in\varphi$ , potom $b 1 = b 2$ .

Prvá vlastnosť hovorí, že každému prvku množiny A musí zobrazenie $\varphi$ priradiť aspoň jeden prvok množiny B, kým druhá hovorí, že ho môže priradiť najviac jeden. Inými slovami, zobrazenie priradí každému prvku množiny A práve jeden prvok množiny B.

Množine A hovoríme definičný obor (alebo len obor, niekedy aj doména), množine B koobor (alebo kodoména).

Obor hodnôt zobrazenia $\varphi$ je množina všetkých takých prvkov množiny B na ktoré sa v zobrazení $\varphi$ zobrazuje nejaký prvok množiny A.

Fakt, že $(a,b)\in \varphi$ , často označujeme buď tzv. prefixovým zápisom: $\varphi(a)=b$ alebo postfixovým zápisom: $a\varphi=b$ . Druhá forma sa používa hlavne v algebre.

Z historických dôvodov sa hovorí v niektorých prípadoch zobrazeniam (hlavne, ak je definičný obor karteziánska mocina) operácie (napr. hovoríme o operácii sčítania či násobenia) a symbolom označujúcim operáciu operátory. Pri binárnych operáciach používame najčastejšie na zápis poznatku $((a_1,a_2),b) \in \varphi$ tzv. infixový zápis: $a_1\varphi a_2=b$ .