Relatie (wiskunde)

Een relatie in de wiskunde is de abstractie van wat in het algemeen een verband of betrekking tussen dingen, objecten, aangeeft. Een relatie toont het verband dat tussen twee (of meer) verzamelingen bestaat, door aan te geven welke elementen van de betrokken verzamelingen in die relatie tot elkaar staan. Daarmee is een relatie eenvoudig gedefinieerd als een verzameling van koppels of n-tupels.

[bewerk] Definitie

In formele zin wordt een relatie gedefinieerd als een verzameling van tupels, rijtjes van elementen, ieder uit een van de verzamelingen waarop de relatie gedefinieerd is. De relatie is dus een deelverzameling van het Cartesisch product van de betrokken verzamelingen.

[bewerk] Voorbeeld 1

De relatie "vrouw van", tussen de verzamelingen vrouwen (V) en mannen (M), is een deelverzameling van de paren V × M, en wel:

"vrouw van" = $\{(v,m) \in V \times M \mid v\ en\ m\ zijn\ gehuwd\}$

Het is gebruikelijk om "v is vrouw van m" te schrijven in plaats van (v,m) ∈ "vrouw van".

[bewerk] Voorbeeld 2

De relatie < ("kleiner dan") tussen reële getallen is een deelverzameling van de paren R × R, en wel:

"<" = $\{(x,y) \in R \times R \mid x < y\}$ .

Het is gebruikelijk om "x < y" te schrijven in plaats van "(x,y) ∈ <".

[bewerk] Voorbeeld 3

Een ander voorbeeld is de relatie "gelijkheid" op de verzameling {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Formeel kunnen we deze relatie (laten we hem R noemen) als volgt beschrijven:

$R = \{(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (7,7), (8,8), (9,9)\}_{}^{}$

We zien dat:

$R \subset \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \times \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

In het paar (0,0) hoort de eerste 0 bij de "linker" verzameling, de andere 0 bij de "rechter". Elementen van paren in de verzameling horen tot de gelijkheidsrelatie, paren die er niet in zitten niet. Zo is 2 gelijk aan 2, 3 niet gelijk aan 4.

In het algemeen kan een relatie tussen twee of meer verzamelingen gedefinieerd worden -- deze verzamelingen hoeven niet alle verschillend te zijn (zoals een relatie tussen twee "dezelfde" verzamelingen). Een relatie tussen twee verzamelingen wordt een binaire relatie genoemd. In zo'n binaire relatie heet de "linker" verzameling het domein, de "rechter" verzameling het bereik van de relatie.

Meestal hebben relaties namen of symbolen om de relatie aan te duiden. Een aantal zeer bekende relatoren (namen van relaties) zijn $<, \leq, =, \equiv, \geq, >, \Rightarrow \mbox{ en } \Leftarrow$ . Het voorbeeld boven zouden we wellicht $= 10$ kunnen noemen.

Bij binaire relaties wordt de relator vaak gebruikt in een infix-notatie.

[bewerk] Eigenschappen van relaties

Hieronder staan enkele bekende eigenschappen van relaties, voornamelijk gedefinieerd op binaire relaties.

[bewerk] Reflexiviteit

Een relatie $R \subset V \times V$ is reflexief als

$\forall v \in V: vRv$

[bewerk] Symmetrie

Een relatie $R \subset V \times V$ is symmetrisch als

$\forall v,w \in V: vRw \Rightarrow wRv$

[bewerk] Transitiviteit

Een relatie $R \subset V \times V$ is transitief als

$\forall v,w,z \in V: vRw \wedge wRz \Rightarrow vRz$

[bewerk] Equivalentie

Een relatie $R \subset V \times V$ is een equivalentierelatie als R reflexief, symmetrisch en transitief is.

[bewerk] Antisymmetrie

Een relatie $R \subset V \times V$ is antisymmetrisch als

$\forall v,w \in V: vRw \wedge wRv \Rightarrow w = v$

[bewerk] Samenstelling van relaties

Als we een relatie hebben tussen verzamelingen $A$ en $B$ , en nog een tweede relatie tussen $B$ en een derde verzameling $C$ , dan kunnen we de samengestelde relatie tussen $A$ en $C$ definiëren door na te gaan welke eindpunten van koppels van de eerste relatie tevens beginpunten van koppels van de tweede relatie zijn.

Categorie: Verzamelingenleer