Funktio

Wikipedia

Tämä artikkeli käsittelee termin merkitystä matematiikassa. Ohjelmoinnissa aliohjelmia nimitetään tietyissä tilanteissa funktioksi.

Matematiikassa funktiolla tarkoitetaan sääntöä, joka liittää annetun määrittelyjoukon jokaisen alkion yksikäsitteiseksi maalijoukon alkioksi. Sekä määrittelyjoukon että maalijoukon alkiot voivat olla muitakin kuin lukuja: maailman valtiot voidaan esimerkiksi järjestää aakkosjärjestykseen ja kiinnittää kuhunkin nimeen järjestysluku, jolloin on saatu bijektiivinen funktio (bijektio), joka kuvaa luonnollisen luvun tietyksi nimeksi ja päinvastoin.

Funktiota merkitään usein $f : A \to B$ , missä $B$ on epätyhjä joukko.

Funktion käsite on tärkeä lähes jokaisella tieteenalalla.

Sisällysluettelo

1 Esimerkkejä
2 Formaali määritelmä
3 Vektorimuuttujan ja vektoriarvoiset funktiot
4 Funktion määrittelyjoukko
5 Funktion ominaisuuksia
6 Katso myös

[muokkaa] Esimerkkejä

Esimerkki 1:

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x$ on funktio reaalilukujoukolta reaalilukujoukolle.

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2$ on funktio.

$f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x, y) = x^2 + y^2$ on funktio.

Esimerkki 2:

Olkoon joukko $A = {1,2}$ ja joukko $B = {1,2,3}$ . Nyt $A \times B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)\}$ .

Funktiot joukossa $A \times B$ ovat:

$F 1 = {(1,1),(2,1)}$ eli $F_1 : A \rightarrow B, F_1(x) = 1$
$F 2 = {(1,1),(2,2)}$ eli $F_2 : A \to B, F_2(x) = x$
$F 3 = {(1,1),(2,3)}$ eli $F_3 : A \to B, F_3(x) = 2x - 1$
$F 4 = {(1,2),(2,1)}$ eli $F_4 : A \to B, F_4(x) = 3 - x$
$F 5 = {(1,2),(2,2)}$ eli $F_5 : A \to B, F_5(x) = 2$
$F 6 = {(1,2),(2,3)}$ eli $F_6 : A \to B, F_6(x) = x + 1$
$F 9 = {(1,3),(2,3)}$ eli $F_7 : A \to B, F_7(x) = 3$

[muokkaa] Formaali määritelmä

Formaalisti funktio voidaan määritellä järjestettynä kolmikkona $(A, B, P)$ , jossa $A$ ja $B$ ovat määrittely- ja maalijoukot ja $P$ sisältää järjestetyt parit, joissa ensimmäinen alkio on $A$ :n alkio ja toinen kyseisen funktion tähän alkioon liitämä kuva, eli $B$ :n alkio. Pareilta vaaditaan, että kukin $A$ :n alkio esiintyy tarkalleen kerran $P$ :n parin ensimmäisenä alkiona, ja tämä vaatimus erottaa funktiot yleisemmistä kaksipaikkaisista relaatioista.

[muokkaa] Vektorimuuttujan ja vektoriarvoiset funktiot

Funktio, jonka arvo lasketaan yhden muuttujan sijaan useasta muuttujasta, on vektorimuuttujan funktio. Funktion käsittelemien $n$ :n muuttujan ajatellaan muodostavan $n$ -ulotteisen vektorin. Kyseinen vektori on alkio joukossa, joka on joukkojen, joihin vektorin alkiot kuuluvat, karteesinen tulo. Esimerkiksi ilmanpaine tietyssä paikassa ja tietyllä hetkellä on neljän muuttujan (kolme paikkakoordinaattia ja aika) reaaliarvoinen funktio. Tutumpi esimerkki on yhteenlaskufunktio: lukuparin $(x, y)$ yksikäsitteinen kuva on niiden summa $x + y$ .

Vastaavasti funktion arvo voi olla yhden alkion sijaan useita alkioita. Esimerkiksi joen virtaussuunta tasokartalla ja nopeus (kaksi arvoa) voidaan ilmoittaa joen suulta mitatun etäisyyden funktiona.

[muokkaa] Funktion määrittelyjoukko

Funktion arvo voi joillain syötteen arvoilla olla määrittelemätön. Tällöin syöte ei kuulu funktion määrittelyjoukkoon.

Voidaan esimerkiksi määrittää seuraava funktio: $\forall x \in \mathbf{Q}:f(x) = 1$ . Jos x:n arvoksi valitaan vaikkapa pii, joka ei ole rationaaliluku, on f:n arvo määrittelemätön. Funktion arvo on määritelty jos ja vain jos syöte kuuluu funktion määrittelyjoukkoon eli lähtöjoukkoon, jota merkitään Suomessa usein $\mathbf{M}_f$ . Vastaavasti arvo- eli maalijoukon merkkinä on $\mathbf{A}_f$ .

Funktio voidaan määritellä paloittain, jolloin funktion arvo kiusallisissa erikoistapauksissa (joita ilmenee usein nollan kanssa) voidaan määritellä erikseen. Hyvä esimerkki tästä on kertoma. Luvun n kertoma $n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot1$ n:n ollessa positiivinen kokonaisluku. Selvästi määritelmästä ei saada nollan kertomaa, joten se on määritelty erikseen: $0! = 1$ . Tällaisia erikoismääritelmiä tehdään vain jos se on tarpeellista ja perusteltua.

Yksi tavallisimmista määrittelemättömyyksistä on osamäärä, jossa jakajana on nolla. Tällaisesta osamäärästä käytetään merkintää $\tilde{\infty}$ , jos jaettavana on jokin kompleksiluku. Tällaisen kompleksiluvun itseisarvo on ääretön ja argumenttikulma tuntematon. Jos käsittelyssä on vain yksi positiivisia reaalilukuja, voidaan perustellusti sanoa, missä kompleksitason suunnassa ääretön on.

Jos funktion arvo on määrittelemätön, ei sitä saa käyttää missään laskutoimituksissa. Aina on syytä varmistaa, että funktion syöte kuuluu sen määrittelyjoukkoon.

[muokkaa] Funktion ominaisuuksia

Funktiolle on määritelty paljon erilaisia ominaisuuksia:

[muokkaa] Katso myös

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../f/u/n/Funktio.html

Luokka: Joukko-oppi

We provide Linux to the World

Funktio

Wikipedia

Sisällysluettelo

[muokkaa] Esimerkkejä

[muokkaa] Formaali määritelmä

[muokkaa] Vektorimuuttujan ja vektoriarvoiset funktiot

[muokkaa] Funktion määrittelyjoukko

[muokkaa] Funktion ominaisuuksia

[muokkaa] Katso myös

Views

Valikko

Etsi

Muilla kielillä