Funkcja (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Funkcje matematyczne

dziedzina

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:

wymierna - niewymierna
wielomian
stała - liniowa - kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:

trygonometryczne - cyklometryczne
hiperboliczne - area
wykładnicza - logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu Γ Β (beta) η W Lamberta Bessela ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa φ π λ

Własności

przebieg zmienności - parzystość - monotoniczność - ograniczoność - okresowość - różnowartościowość - suriektywność - wzajemna jednoznaczność - ciągłość

Funkcja – odwzorowanie (przyporządkowanie, przekształcenie, przeprowadzenie) zbioru $X$ w zbiór $Y$ , które każdemu elementowi ze zbioru $X$ przypisuje dokładnie jeden element zbioru $Y$ , co oznaczamy symbolem $f:X \to Y$ i czytamy: $f$ jest funkcją przekształcającą (odwzorowującą, przeprowadzającą) zbiór $X$ w zbiór $Y$ .

Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji, jego elementy zaś argumentami, z kolei zbiór $Y$ to przeciwdziedzina.

Element $y \in Y$ przyporządkowany danemu $x \in X$ nazywamy wartością funkcji dla argumentu $x$ albo obrazem tego argumentu. My będziemy stosować umowę, iż pod nazwą przeciwdziedzina, czy zbiór wartości rozumieć będziemy cały zbiór $Y$ . Podzbiór zbioru $Y$ złożony z tych elementów $y \in Y$ , które zostały przyporządkowane jakimś argumentom, nazywać będziemy zaś obrazem zbioru $X$ i oznaczać będziemy symbolem $f (X)$ .

Przeciwobrazem zbioru $B \subset Y$ nazwiemy zbiór $f^{-1}(B) = \{x \in X: \exist_{y \in B}\; f(x) = y\}$ .

Wykres funkcji na zbiorze $A \subset X$ nie jest tym samym co jej obraz $f (A)$ , gdyż pierwszy jest zbiorem par punktów, drugi zaś wyłącznie zbiorem elementów – choć oba, w sposób oczywisty, są ze sobą powiązane.

[edytuj] Definicja formalna

Precyzyjna definicja pojęcia funkcji wyrażona jest w języku teorii mnogości. Funkcja $f$ jest po prostu relacją dwuargumentową określoną w zbiorze $X \times Y$ spełniającą warunek:

$\forall_{x \in X} \forall_{y\in Y} \forall_{z\in Y}\; x f y \and x f z \implies y = z$ ,

czyli: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem obrazu.

W matematyce określenia: funkcja, przekształcenie, odwzorowanie, transformacja, operator, działanie, itd. są synonimami, choć w różnych dyscyplinach matematycznych preferowane jest używanie niektórych z nich. Najczęściej podyktowane jest to względami historycznymi. Na przykład w geometrii mówimy najczęściej o przekształceniach płaszczyzny, a w analizie funkcjonalnej badamy własności operatorów.

Na funkcje można nakładać dodatkowe warunki, takie jak różnowartościowość, suriektywność, wzajemną jednoznaczność czy ciągłość.

Funkcje można rozpatrywać jako osobne obiekty i wykonywać na nich działania, takie jak dodawanie, mnożenie, czy składanie.