Fonction (mathématiques)

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On peut voir une fonction comme une « transformation » de certains objets en d'autres objets. Ainsi, il y a des fonctions qui transforment des nombres en nombres (par exemple les polynômes, les fonctions trigonométriques...), des fonctions qui transforment des points en points (par exemple les rotations, translations, homothéties...), des fonctions qui transforment des formes géométriques en nombres (par exemple la longueur d’un segment, l’aire délimitée par un polygone...).

On appelle image d'un objet par cette fonction l'objet obtenu après transformation par la fonction.

Sommaire

1 Notion d’application
- 1.1 Définition
- 1.2 Exemples
2 Restriction d'une fonction
3 Composition de fonctions
- 3.1 Définition
- 3.2 Théorèmes de monotonie
4 Injectivité et surjectivité
5 Réciproque d'une fonction
6 Décomposition canonique
7 Parité d’une fonction réelle
8 Voir aussi
- 8.1 Articles connexes

[modifier] Notion d’application

[modifier] Définition

Formellement, une application $f$ d’un ensemble $E$ dans un ensemble $F$ est une fonction applicative, c'est-à-dire une correspondance dont tout élément de l'ensemble de départ $E$ a une et une seule image. C’est donc un triplet $(E, F, G)$ où $G$ est un sous-ensemble de $E \times F$ dans lequel chaque élément de $E$ apparait une et une seule fois. L'ensemble de définition de $f$ est alors $dom \, f = E$ .

Le graphique de la fonction sinus

[modifier] Exemples

L’identité ou application identique d’un ensemble (voir ci-contre) est l’application de cet ensemble dans lui-même qui à chaque élément associe cet élément et lui seul (son graphe est donc la diagonale de l’ensemble).
Si $E$ et $F$ sont des ensembles non vides, et si $b$ est un élément de $F$ , on peut définir l’application constante de valeur $b$ , de $E$ dans $F$ , qui à tout élément associe $b$ (son graphe est donc $\{ (x, b) | x \in E\}$ ).

[modifier] Restriction d'une fonction

Soit une fonction $f$ d’un ensemble $E$ dans un ensemble $F$ .

Si $E'$ est un sous-ensemble de $E$ , on appelle restriction de $f$ à $E'$ la fonction notée $f | E'$ de $E'$ dans $F$ dont le graphe est :

$G(f|_{E'}) = \{ (x, y) | x \in E' \and y \in F \and y = f(x) \}$

Remarque : la condition $y = f (x)$ ci-dessus implique que $x$ appartient à $d o m f$ et que $y$ appartient à $I m f$ .

[modifier] Composition de fonctions

Voir l’article Composition de fonctions.

[modifier] Définition

La composition de deux fonctions permet d’obtenir une troisième fonction, en « appliquant » la deuxième fonction au résultat de la première.

Soient deux fonctions : $f: E \to F$ et $g: F \to G$ ; leur fonction composée $g \circ f$ a pour graphe:

$G_{g \circ f} = \{ (x , z) \in E \times G \; | \; \exists y \in F,\ (x , y)\in G_f \and (y , z) \in G_g \}$

(c’est bien la même composition que celle qui est définie pour les relations en général)

En particulier, si $x$ est dans l’ensemble de définition de $g\circ f$ , on a : $g\circ f(x) = g(f(x))$ .

Il faut noter que la composée de deux applications est une application, et que la composée de deux fonctions est une fonction; mais cette dernière composée peut avoir un domaine de définition vide!

[modifier] Théorèmes de monotonie

La composée de deux fonctions de même monotonie est croissante.
La composée de deux fonctions de monotonies contraires est décroissante.

[modifier] Injectivité et surjectivité

Une fonction $f$ est dite injective (ou que c'est une injection, s'il s'agit d'une application) lorsque :

$\forall x \in E , \forall y \in E , [ f (x) = f (y) ] \Rightarrow [ x = y ] \,$ .

Cela signifie que la fonction « distingue » les différents éléments de son domaine de définition.

La composée de deux injections est une injection et, inversement, si

g

f

est une injection, alors

f

est une injection.

Une fonction $f$ est dite surjective (ou que c'est une surjection , s'il s'agit d'une application) lorsque :

$\forall y \in F , \exists x \in E,\ f (x) = y$ .

En d'autres termes,

f

est surjective ssi l'image de

E

est l'ensemble d'arrivée tout entier; cela signifie que tout élément de l'ensemble d'arrivée peut être vu comme image d'un élément de l'espace de départ.

La composée de deux surjections est une surjection et, inversement, si $g\circ f$ est une surjection, alors

g

est une surjection.

Une application est dite bijective (ou que c'est une bijection) lorsqu'elle est à la fois injective et surjective. Bien sûr, les applications ne sont pas toutes des bijections !

La composée de deux bijections est une bijection mais inversement, si la composée de deux applications est une bijection, on peut seulement en déduire que l'une est une injection et l'autre une surjection.

[modifier] Réciproque d'une fonction

Voir les articles Application réciproque et Correspondance et relation

La correspondance réciproque d’une fonction $f$ est une fonction si $f$ est injective, et cette fonction réciproque est elle-même injective. La notation habituelle pour cette fonction réciproque est $f - 1$ mais elle entraîne un risque de confusion avec la fonction inverse de $f$ , $1 \over f$ , qui peut aussi se noter $f - 1$ , et il faut donc se montrer très prudent dans son emploi.

De manière analogue, la correspondance réciproque d’une application $f$ est une application si $f$ est bijective, et cette application réciproque est elle-même une bijection.

[modifier] Décomposition canonique

On appelle relation binaire associée canoniquement à la fonction $f$ la correspondance $f^{-1}\circ f$ définie dans $E$ par :

x

est en relation avec

y

ssi

x

y

ont une image commune par

f

Cette relation est toujours symétrique et transitive, mais n'est une relation d'équivalence que si $f$ est une application (voir l'article « Opération sur des correspondances »).

Nous pouvons alors définir l'ensemble quotient $E/ (f^{-1}\circ f)$ et la surjection canonique $s$ correspondante, associée à l'application $f$ . Cette surjection associe à tout élément $x$ de $E$ sa classe d'équivalence par $f^{-1}\circ f$ , qui n'est autre que $f - 1 ({f (x)})$ , ensemble des antécédents de $f (x)$ .

Considérons alors la correspondance $i$ de $E/ (f^{-1}\circ f)$ dans $F$ définie par :

A

est en relation avec

y

ssi

A

est l'ensemble des antécédents de

y

par $f^{-1}\circ f$

Cette correspondance est une injection, l'injection canonique associée à l'application $f$ . On montre aisément que $f=i\circ s$ .

En résumé : Toute application peut être décomposée de façon unique en une surjection et une injection.
Cette décomposition est la décomposition canonique de l'application. Dans cette décomposition :

la surjection $s$ est une bijection ssi $f$ est une injection, c'est-à-dire si $f^{-1}\circ f = Id_E$ .
l'injection $i$ est une bijection ssi $f$ est une surjection, c'est-à-dire si $f \circ f^{-1} = Id_F$ .

Ce qui précède peut être étendu à une fonction quelconque, à condition de « compléter » le graphe de $f^{-1}\circ f$ par la diagonale de $E$ , de façon à rendre la relation réflexive et en faire ainsi une relation d'équivalence. Nous retrouvons alors la décomposition précédente, à ceci près que $i$ n'est plus qu'une fonction.

[modifier] Parité d’une fonction réelle

Voir l’article Parité d'une fonction réelle.

Une fonction $f : E\to F$ , avec $E\subseteq\R$ et $F\subseteq\R$ , est :

paire si et seulement si pour tout $x$ de $E$ , on a $-x\in E$ et $f (x) = f ( - x)$ . Un exemple de fonction paire est la fonction cosinus.
impaire si et seulement si pour tout $x$ de $E$ , on a $-x\in E$ et $f ( - x) = - f (x)$ . Un exemple de fonction impaire est la fonction sinus.