多角形

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多角形（たかっけい、たかくけい）とは平面上の閉じた単純折れ線、および平面上の閉じた単純折れ線によって囲まれた図形を指す。

ここで

折れ線とは複数の線分をその端点でつなぎ合わせてできる曲線を言う。
曲線が単純であるとは、曲線が(端点以外では)自己交差しない事を言う。
曲線が閉じているとは、長さが有限で端点を持たない事を言う。(厳密にいうと、さらにコンパクトでなければならない)。

[編集] 用語

頂点：上で述べられている、線分の端点のこと。
辺：上で述べられている、線分のこと。
面：多角形によって囲まれた領域。3. より多角形が閉じていることがわかることから定義できる。
内角：多角形のある頂点における内角とは、その頂点を端点に持つ二つの辺が作る二つの角のうち、多角形の内部にあるほうをいう。
外角：多角形のある頂点における外角とは、その頂点を端点に持つ二つの辺のうち一方を延長してできる直線と、もう一方の線分がなす角の事。外角は二つあるが、その大きさは共に等しい。外角の大きさと内角の大きさを加えたものは180度(ラジアン角ではπ)に等しい。各頂点の外角の大きさの総和は、辺の本数に関わらず常に360度(ラジアン角では2π)である。
対角線：一つの多角形の二つの頂点を端点に持つ線分のうち多角形の辺ではないものをその多角形の対角線という。
正多角形：全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形。

n 本の辺を持つ多角形を、n 角形と呼ぶ。ここで n は、漢数字で表記されることが多い（例：三角形）。n 角形の内角の総和は、多角形の形状に関わらず (n-2)π である。正n角形の内角は全て等しい。従って、正n角形の内角は (n-2)/n*π である。

[編集] 面積公式

閉じた図形には面積が定義できる。多角形にも当然面積が定義できるわけだが、そこで問題になるのは求め方である。よく知られた方法として、次の方法がある。まず、三角形について考える。その三角形が存在する平面に、一つの頂点を原点として直交座標系を導入すれば、他の点は (x₁,y₁) , (x₂,y₂) と表される。ここで三角形の面積 s は、

$s = \frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$

と表すことができる。

以下の文章には正確性に疑問があります

これを任意の多角形の場合に拡張する。多角形（n角形）の辺を通る単純閉路を考え、通る頂点の順に A₁,A₂,…,A_n と番号を振る。A_n+1 で A₁ と一致する。多角形が存在する平面に、多角形の面の中に原点が来るように直交座標系を導入し、頂点の座標を A_i = (x_i,y_i) とする。ただし、A_n+i = A_i である。面の中に原点をとることによって、多角形は、頂点の一つを原点にもつ n 個の三角形に分割できる。この三角形の面積は上に述べた通りであるから、三角形 OA_iA_i+1 の面積を s_i とすれば、多角形の面積 S は、

$S = \sum^{n}_{i=1} s_i$

$. \ = \frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1| + \frac{1}{2}|x_2 y_3-x_3 y_2| + \cdots + \frac{1}{2}|x_n y_1-x_1 y_n|$

$. \ = \frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+ \cdots + x_n y_1 - x_1 y_n|$

$. \ = \frac{1}{2}|(x_n-x_2)y_1 + (x_1-x_3)y_2 + (x_2-x_4)y_3 + \cdots + (x_{n-1}-x_1)y_n|$

$. \ = \frac{1}{2}\left|\sum^{n}_{i=1} (x_{i-1}-x_{i+1})y_i \right|$

となる。

[編集] 合同条件

辺の数が同数の二つの多角形 P , P' があるとする。この二つの多角形に対し合同関係が定義できるが、次の条件を満たすとき、二つの多角形は合同である。

P , P' に関して、それぞれある単純閉路 C , C' が存在して、通った辺の順に、その長さをそれぞれ (l₁,l₂,…,l_n) , (l'₁,l'₂,…,l'_n) とすれば、l₁ = l'₁ , l₂ = l'₂ , … , l_n = l'_n が成り立つ。

また、辺の数に関係なく、二つの多角形の面積が等しければ、適当に分割することによって、二つの多角形を合同にすることができる。（ボヤイの定理）

[編集] 相似条件

辺の数が同数の二つの多角形 P , P' があるとする。この二つの多角形に対し相似関係が定義できるが、次の条件を満たすとき、二つの多角形は相似である。

P , P' に関して、それぞれある単純閉路 C , C' が存在して、通った辺の順に、その長さをそれぞれ (l₁,l₂,…,l_n) , (l'₁,l'₂,…,l'_n) とすれば、ある定数 k が存在して、l₁ = kl'₁ , kl₂ = kl'₂ , … , l_n = kl'_n が成り立つ。
P , P' に関して、それぞれある単純閉路 C , C' が存在して、通った頂点の順に、その対応する角の大きさをそれぞれ (θ₁,θ₂,…,θ_n) , (θ'₁,θ'₂,…,θ'_n) とすれば、θ₁ = θ'₁ , θ₂ = θ'₂ , … , θ_n = θ'_n が成り立つ。