Veelhoek

Een veelhoek of polygoon (het laatste woord is samengesteld uit de Griekse woorden poli voor "veel" en gonos voor "hoek") is een gesloten stelsel lijnsegementen die samen een plat vlak omsluiten. Met hetzelfde woord polygoon wordt ook het vlak binnen deze lijnstukken aangeduid, of de combinatie van de lijnstukken en het vlak.

De lijnstukken die de veelhoek vormen heten de zijden.

Inhoud 1 Soorten veelhoeken 2 Eigenschappen 2.1 Aantal hoeken en zijden 2.2 Inwendige hoek bij een regelmatige veelhoek 2.3 Oppervlakte 2.4 Bolyai-Gerwien theorema 2.5 Omschreven cirkel 2.6 Construeren van regelmatige veelhoeken 2.7 Vlakverdeling

[bewerk] Soorten veelhoeken

Een eenvoudige niet-convexe zeshoek

Een eenvoudige concave zeshoek

een complexe veelhoek

Een complexe veelhoek

Veelhoeken worden ingedeeld naar het aantal zijden, dit aantal is overigens gelijk aan het aantal hoeken. In het Engels wordt hiervoor een systematische naamgeving gebruikt die gebaseerd is op het Grieks (pentagon, hexagon, dodecagon etc). In het Nederlands:

		Gelijkzijdige veelhoek
Naam	Aantal zijden	Hoek	Som der hoeken
driehoek	3	60°	180°
vierhoek	4	90°	360°
vijfhoek	5	108°	540°
zeshoek	6	120°	720°
zevenhoek	7	128,6°	900°
achthoek	8	135°	1080°
negenhoek	9	140°	1260°
tienhoek	10	144°	1440°
elfhoek	11	147,3°	1620°
twaalfhoek	12	150°	1800°

Veelhoeken worden ook wel taxonomisch geclassificeerd, zoals geïllustreerd in onderstaande boomstructuur:

                                      Veelhoek
                                     /       \
                                 Eenvoudig  Complex
                                /     \
                           Convex     Concaaf
                            /
                       Regelmatig

• Een veelhoek is eenvoudig als hij wordt beschreven door een enkele, zichzelf niet snijdende grens. Zo niet, dan wordt hij complex genoemd.
• Een eenvoudige veelhoek wordt convex genoemd als hij geen interne hoeken heeft die groter zijn dan 180°. In het andere geval wordt hij concaaf genoemd.
• Een veelhoek is regelmatig als alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot. Een voorbeeld is het vierkant.

[bewerk] Eigenschappen

Alle hierna beschreven eigenschappen zijn beschreven in de Euclidische meetkunde.

[bewerk] Aantal hoeken en zijden

Elke veelhoek, of hij nu regelmatig of complex is, heeft evenveel hoeken als zijden. De som van de inwendige hoeken van een eenvoudige veelhoek met n hoeken is (n-2)π radialen (of (n-2)180°).

[bewerk] Inwendige hoek bij een regelmatige veelhoek

De inwendige hoek van een regelmatige veelhoek met n hoeken is (n-2)π/n radialen (of (n-2)180°/n). Dit laatste kan men als volgt aanvoelen:

• Als men om een eenvoudige n-hoek zou bewegen (zoals fietsend langs de zijden), is de draaiing die men bij een hoekpunt moet maken gelijk aan 180° - de inwendige hoek. Helemaal om de veelhoek heenrijdende maakt men een volledige draai. Dus de som van alle draaiingen moet gelijk zijn aan 360°, waaruit de genoemde formule eenvoudig volgt. Deze redenering geldt ook als enkele van de inwendige hoeken groter zijn dan 180°: Als men met de klok mee om de veelhoek zou rijden, betekent dit dat men op een bepaald punt linksaf moet slaan in plaats van rechtsaf, hetgeen wordt meegeteld als een negatieve draai.
• Elke eenvoudige n-hoek kan worden beschouwd als opgebouwd uit (n-2) driehoeken, waarvan elk een som van de hoeken heeft die gelijk is aan π radialen of 180°.

Gelijkzijdige veelhoek en regelmatige veelhoek betekenen hetzelfde.

[bewerk] Oppervlakte

De oppervlakte A van een eenvoudige veelhoek kan worden berekend als de cartesische coördinaten van de hoekpunten bekend zijn, namelijk

(x₁, y₁),

(x₂, y₂),

...,

(x_n, y_n).

Hierbij dienen de hoekpunten tegen de klok in te zijn opgesomd. De oppervlakte wordt dan berekend met:

A = 1/2 · (x₁y₂ - x₂y₁ + x₂y₃ - x₃y₂ + ... + x_n-1y_n - x_ny_n-1 + x_ny₁ - x₁y_n)

= 1/2 · (x₁(y₂ - y_n) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₄ - y₂) + ... + x_n-1(y_n - y_n-2) + x_n(y₁ - y_n-1))

Deze formule is voor het eerst beschreven door Meister in 1769 en door Gauss in 1795. Het bewijs kan worden verkregen door de veelhoek in driehoeken te verdelen, maar de formule kan ook worden gezien als een speciaal geval van het theorema van Green.

[bewerk] Bolyai-Gerwien theorema

Als men twee eenvoudige veelhoeken met gelijk oppervlak beschouwt, dan kan de ene in veelhoeksvormen worden geknipt die kunnen worden samengevoegd om de tweede veelhoek te vormen. Dit staat bekend als het Bolyai-Gerwien theorema.

[bewerk] Omschreven cirkel

Alle regelmatige veelhoeken hebben een omgeschreven cirkel, net als alle driehoeken en rechthoeken.

[bewerk] Construeren van regelmatige veelhoeken

Niet alle regelmatige veelhoeken kunnen met liniaal en passer worden geconstrueerd. De voldoende voorwaarde hiervoor is bepaald door Carl Friedrich Gauss in 1796. De noodzakelijke voorwaarde is bepaald door Pierre Wantzel in 1836. Deze laatste luidt:

Een regelmatige n-hoek kan worden geconstrueerd met liniaal en passer desda de oneven priemfactoren van n verschillende priemgetallen zijn en kunnen worden geschreven als:

Deze priemgetallen zijn de Fermat getallen. De enige bekende zijn 3, 5, 17, 257 en 65537. Dit betekent dat een zeshoek (met priemfactoren 2 en 3) wel met passer en liniaal geconstrueerd kan worden, maar een zevenhoek niet. Een vijfhoek kan dus wel met passer en liniaal worden geconstrueerd, maar daarvoor is wel een ingewikkelde constructie.

[bewerk] Vlakverdeling

Met veelhoeken kunnen al dan niet regelmatige vlakverdelingen worden gemaakt, zoals deze bijvoorbeeld voorkomen in Arabische kunst en ook in de grafiek van Escher. Van regelmatige vierkanten, driehoeken en zeshoeken kan een vlakverdeling gemaakt worden die bestaat uit alleen deze vormen. Voor alle andere regelmatige veelhoeken geldt dit niet. Dit komt doordat de hoeken van een driehoek (60°), vierhoek (90°) en een zeshoek (120°) allen een deler zijn van 360°. Voor alle andere hoeken van regelmatige veelhoeken geldt dit niet.