다각형

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기하학에서 다각형은 한 평면 위에 있으면서 유한 개의 선분들이 차례로 이어져 이루어진 닫힌 경로이다. 다각형(多角形)이라는 말을 글자 그대로 해석하면 각이 많은 모양(도형)이라는 뜻이다. 다각형을 이루는 각각의 선분들을 그 다각형의 변이라 하고, 변의 끝점을 꼭지점이라 한다. 단순한 다각형의 경우 그 변들의 합집합은 다각형 영역의 경계를 이룬다. 다각형은 변의 개수에 따라 삼각형, 사각형 등으로 이름붙인다.

[편집] 분류

다각형의 집합들 사이의 포함관계

다각형의 집합은 특정한 성질을 갖는지에 따라 다음과 같이 여러 부분집합으로 나눌 수 있다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

변들이 꼭지점에서만 만나는 다각형을 단순한 다각형이라 한다.
180°가 넘는 크기의 내각을 갖지 않는 단순한 다각형을 볼록한 다각형이라 한다. 볼록하지 않은 단순한 다각형은 오목한 다각형이라고 한다.
모든 변의 길이가 같은 다각형을 등변다각형이라 한다. (변이 다섯 개 이상일 경우 볼록하지 않거나 심지어 단순하지 않은 다각형도 등변다각형이 될 수 있다.)
모든 꼭지점이 한 원 위에 있는 볼록한 다각형을 원에 내접하는 다각형이라 한다.
원에 내접하는 등변다각형, 다시 말해, 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 볼록한 다각형을 정다각형이라 한다. 변의 수가 같은 정다각형들은 모두 서로 닮았다. 예를 들어 모든 정육각형들은 서로 닮았다.

[편집] 다각형의 성질

여기서부터는 유클리드 기하를 가정한다.

n각형의 자유도는 2n 이다. 그 중 2는 위치를, 1은 놓여 있는 방향을, 1은 전체적인 크기를 결정하며 나머지 2n−4 가 모양을 결정한다.

다각형에 선대칭성이 있을 경우 모양에 대한 자유도가 n−2 로 줄어든다. 일반적으로 k 를 2 이상의 정수라고 하면 k겹(k-fold) 회전대칭성(C_k)을 갖는 nk각형의 모양에 대한 자유도는 2n−2 이다. 여기에 선대칭성이 추가된 경우(D_k)에는 n−1 이다.

[편집] 각

정다각형이건 아니건, 단순하건 단순하지 않건, 다각형은 변의 수만큼의 각을 갖는다. 단순한 n각형의 내각(다각형 내부에 있는 각)의 합은(n−2)π 라디안(혹은 (n−2)180°)이다. 따라서 정n각형의 한 내각의 크기는 (n−2)π/n 라디안(혹은 (n−2)180°/n), 혹은 (n−2)/(2n) 회전)이다. 이것은 다음과 같이 두 가지 방법으로 이해할 수 있다.

예를 들어 자전거를 몰고 단순한 n각형을 따라 움직인다고 가정해 보자. 그러면 각 꼭지점에서 180°에서 내각을 뺀 만큼 방향을 "틀어야" 할 것이다. 그 n각형을 완전히 돌고 나면 자전거 자신도 완전히 한 바퀴를 돈 것이므로 각 꼭지점에서 튼 각도의 합은 360°가 되어야 하며, 이것으로부터 위의 식을 쉽게 얻을 수 있다. 180°가 넘는 크기의 내각이 있는 경우에도 마찬가지로 생각할 수 있다. 다각형을 따라 반시계방향으로 돈다고 하면 보통은 왼쪽으로 방향을 틀어야 하지만 내각의 크기가 180°가 넘는 꼭지점에서는 오른쪽으로 방향을 틀어야 하며, 이것을 음수로 계산하면 역시 같은 식을 얻을 수 있다.

단순한 n각형은 (n−2)개의 삼각형을 짜맞추어 만들 수 있으며, 각각의 삼각형의 내각의 크기의 합이 180°인 것으로부터 위의 식을 얻을 수도 있다.

(단순할 필요가 없는) 일반적인 n각형을 따라 움직이는 경우 각 꼭지점에서 방향을 튼 각도의 합은 360°의 정수배가 된다. 예를 들어 오각별에서는 720°, 각진 8자 모양에서는 0°이다. 궤도 항목도 참고.

[편집] 넓이

직교 좌표계에서 각 꼭지점의 좌표가 그 내부를 반시계방향으로 도는 순서대로 (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n) 로 주어져 있는 단순한 다각형의 넓이 A 는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$A\,\!$	$= {1 \over 2} \left ( x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2 + \cdots + x_n y_1 - x_1 y_n \right )$
	$= {1 \over 2} \left \{ x_1 ( y_2 - y_n ) + x_2 ( y_3 - y_1 ) + \cdots + x_n ( y_1 - y_{n-1} ) \right \}$