Toro (geometria)

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In geometria il toro è una superficie a forma di ciambella. Può essere ottenuta come superficie di rivoluzione, facendo ruotare una circonferenza (la generatrice) intorno ad un asse di rotazione, che appartiene allo stesso piano della generatrice, ma che è disgiunto da questa.

Il termine deriva dal latino torus che indicava, fra le altre cose, un tipo di cuscino a forma di ciambella.

Indice

1 Il toro nella geometria euclidea
- 1.1 Rappresentazione mediante equazioni
- 1.2 Proprietà
2 Topologia del toro
- 2.1 Costruzione
- 2.2 Proprietà
3 Voci correlate

[modifica] Il toro nella geometria euclidea

[modifica] Rappresentazione mediante equazioni

Una rappresentazione parametrica di un toro nell'usuale spazio euclideo tridimensionale è data da:

$x(u,v) = (R+r\,\cos p)\cos t$

$y(u,v) = (R+r\,\cos p)\sin t$

$z(u,v) = r\,\sin p$

dove $t, p$ variano tra 0 e $2π$ , $R > 0$ è la distanza dal centro del tubo al centro del toro e $r > 0$ è il raggio del tubo.

L'equazione che individua in coordinate cartesiane un toro che ha l'asse z come asse di simmetria è data da:

$\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2$

[modifica] Proprietà

L'area ed il volume racchiuso dal toro sono dati rispettivamente da:

$A = 2\pi r\ 2\pi R=4\pi^2 Rr$ ,

$V = \pi r^2 \ 2\pi R=2\pi^2R r^2.$

[modifica] Topologia del toro

[modifica] Costruzione

Un toro topologico può essere definito come il prodotto di due circonferenze S¹ × S¹. Le equazioni parametriche che abbiamo dato per il toro in R³ individuano un omeomorfismo con l'insieme S¹ × S¹.

Un modo equivalente di costruire un toro topologico è quello di considerare un quadrato e "incollare" i lati opposti. Questo corrisponde a definire sul quadrato

Q = [0,1] × [0,1] ⊆ R²

la relazione di equivalenza $\sim_T$ tale che $x \sim_T y$ se e solo se $x = y$ è un unico punto interno oppure $x$ e $y$ sono su due lati opposti ed hanno una coordinata uguale. Con questa relazione di equivalenza si può definire lo spazio quoziente $Q/\sim_T$ che è appunto un toro topologico.

Un ulteriore modo di costruire il toro topologico è quello di quozientare tutto il piano R² rispetto al sottogruppo Z².

[modifica] Proprietà

Il toro è una superficie, quindi una varietà differenziabile di dimensione 2.
Il toro è compatto, connesso, ma non semplicemente connesso. Infatti il suo gruppo fondamentale è $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ .
Il rivestimento universale del toro è omeomorfo a $\mathbb{R}^2$ . Quindi i gruppi di omotopia di grado maggiore di 1 del toro sono tutti banali.
La caratteristica di Eulero del toro è zero.
Il genere del toro è 1.
Sul toro non valgono molti teoremi della geometria piana. Ad esempio, non vale il teorema dei quattro colori. Nel seguente disegno il toro è stato diviso in sette regioni, a due a due tutte confinanti: quindi necessita di ben sette colori diversi.