Circonferenza
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Nella geometria euclidea, una circonferenza è il luogo dei punti del piano ad una distanza fissa, detta raggio, da un punto fisso, detto centro. Le circonferenze sono coniche con eccentricità nulla. Sono curve chiuse semplici, che dividono il piano in una parte interna ed una esterna. La parte di piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio
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[modifica] Circonferenza nel piano cartesiano
Nel piano cartesiano è possibile descrivere una circonferenza sia in forma cartesiana sia con forma parametrica.
[modifica] Equazione Cartesiana
In un sistema di assi cartesiani x-y, la circonferenza di centro (x0, y0) e raggio r è il luogo dei punti tali che:
- (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
Se il centro della circonferenza è l'origine (0, 0), la formula diventa:
- x2 + y2 = r2.
L'equazione canonica (la più generale) della circonferenza è:
- x2 + y2 + ax + by + c = 0
In questa equazione valgono le seguenti eguaglianze:
- − 1 / 2a = x
- − 1 / 2b = y
![\sqrt[]{x^2+y^2-c}=r](../../../math/2/b/b/2bbf3b2f8e37b5e23cd1823e2bcb0ce1.png)
- c = x2 + y2 − r2
dove x e y rappresentano le coordinate del centro e r è il raggio.
La circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario è chiamata circonferenza goniometrica.
[modifica] Equazione parametrica
Una circonferenza C il cui centro ha coordinate (x0, y0) e di raggio R viene descritta con la seguente forma parametrica:
![C:\left\{ \begin{matrix} x=x_0+R\cdot cos(t)&\\ &t\in[0,2\pi]\\ y=y_0+R\cdot sin(t)& \end{matrix}\right.](../../../math/5/4/d/54db44b2f7d57ea887ecd6a41c18b0cd.png)
[modifica] Circonferenza nel piano complesso
Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio R può essere espressa dall'equazione parametrica
- z(t) = Reit
per t che varia in [0,2π]. Per rendersi conto che tale formula descrive una circonferenza è sufficiente considerare le equazioni parametriche descritte sopra e confrontarle con la formula di Eulero.
[modifica] Circonferenza nello spazio
E' possibile descrivere una circonferenza nello spazio come intersezione di una sfera S con un piano π. Per calcolare il raggio di una circonferenza descritta nel seguente modo si può utilizzare il teorema di Pitagora nel seguente modo:
- si calcola la distanza d(π,P) del piano π dal centro della sfera S
- detto R il raggio della sfera S, il raggio rc della circonferenza vale
.
Esempio
La circonferenza
è l'intersezione del piano
π:x + y + z = 1 con la sfera S di centro origine e raggio 2. La distanza del centro della sfera dal piano vale 
. La distanza del centro della sfera dal piano è minore del raggio della sfera. Quindi il piano π interseca la sfera S. A questo punto il raggio rc della circonferenza lo si calcola utilizzando teorema di Pitagora:
[modifica] Componenti della circonferenza e loro proprietà
Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza è proporzionale al raggio:
- Lunghezza della circonferenza =
Una retta che incontra una circonferenza in due punti si chiama secante, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama tangente. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due archi. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circoferenza si chiama corda. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama diametro, ed equivale al doppio del raggio.
Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri è l'asse del segmento che congiunge i due punti.
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro coincide con l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti. L'equazione della circonferenza passante per i punti <(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)> si può esprimere nel seguente modo:
dove l'espressione a sinistra è il determinante della matrice.
[modifica] Topologia
Una circonferenza topologica si ottiene considerando un intervallo chiuso sulla retta reale e dotandolo della topologia quoziente che si ha identificando gli estremi.
La circonferenza è dotata di una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione 1, è uno spazio compatto e connesso ma non semplicemente connesso, infatti il suo gruppo fondamentale è il gruppo Z dei numeri interi.
[modifica] Struttura di gruppo
La circonferenza è naturalmente dotata della struttura algebrica di gruppo: possiamo identificare i punti della circonferenza l' angolo che esso forma rispetto ad una semiretta prefissata (in genere l'asse delle ascisse in un sistema di riferimento cartesiano) e definire la somma di due punti individuati dagli angoli α e β come il punto indivisuato dall' angolo α + β. E' immediato verificare che la circonferenza dotata di questa operazione verifica le proprietà di un gruppo e che come gruppo è isomorfo al gruppo R/Z.
La circonferenza è un esempio di gruppo di Lie.
