Torus

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

En torus.

En torus (flertal: tori) er en geometrisk form, der ligner et bildæk eller en bagel. Matematisk er der tale om et omdrejningslegeme, hvor omdrejningskurven er en cirkel, og omdrejningsaksen ligger uden for cirklen. I visse sammenhænge kaldes legemet også en torus hvis omdrejningsaksen ligger inden for cirklen, men dette er ikke sædvane inden for matematikken.

[redigér] Geometri

En torus kan defineres parametrisk ved:

$x(u, v) = (R + r\cos{v}) \cos{u} \,$

$y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \,$

$z(u, v) = r \sin{v} \,$

- hvor

u, v ∈ [0, 2π),

R er afstanden fra omdrejningsaksen til centrum af cirklen,

r er radius for cirklen.

Ligningen i cartesiske koordinater for en torus der er cylindersymmetrisk omkring z-aksen er

$\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2$

Overfladearealet og volumen af denne torus er:

$A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,$

$V = 2 \pi^2R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,$

I en bredere definition behøver generatoren for en torus ikke være en cirkel, men kan også være en ellipse eller et hvilket som helst andet keglesnit.

[redigér] Topologi

Eftersyn
Dette afsnit bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

Dette afsnit er i øjeblikket kun delvist oversat til dansk, fordi oversætteren ikke var sikker på et fagudtryk eller en vending. Hvis du kan oversætte teksten korrekt opfordrer vi dig til at rette op på manglen.

En torus er produktet af to cirkler.

Topologisk er en torus en lukket overflade defineret som produktet af to cirkler: S¹ × S¹. Denne kan ses som at eksistere i C² og er en delmængde af 3-kuglen S³ med radius $\sqrt{2}$ . Denne topologiske torus kaldes ofte en Clifford torus. Faktisk kan S³ "filled out" af en familie af tori inden i hinanden (med to degenererede tilfælde, en cirkel og en ret linie), hvilket har betydning i studiet af S³ som "fiber bundle" over S² ("Hopf bundle").

Overfladen beskrevet ovenfor er, givet den relative topologi fra R³, homeomorf med en topologisk torus så længe den ikke skærer sin egen akse. En specifik homeomorfisme er givet ved at stereografisk projicere den topologiske torus på R³ fra nordpolen af S³.

En torus kan også beskrives som en "quotient" af det Cartesiske plan "under the identifications"

(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1)

Eller, ækvivalent, som "the quotient" af enhedsfirkanten ved at samle de modtående kanter, beskrevet som en fundamental polygon $A B A - 1 B - 1$ .

Den fundamentale gruppe for torus'en er det direkte produkt af den fundamentale gruppe for cirklen med sig selv:

$\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

Intuitivt set betyder dette at en lukket kurve der omkranser torus'ens "hul" (f.eks. en cirkel der følger en bestemt breddegrad) og derefter omkranser torus'ens "krop" (f.eks. en cirkel der følger en bestemt længdegrad) kan deformeres til en kurve der omkranser kroppen og derefter hullet. Dvs. strengt 'latitudinale' og strengt 'longitudinale' kurver kommuterer. Man kan tænke på dette som to snørebånd der går gennem hinanden, og derefter vikles ud, og derefter vikles ind.

Den første homologiske gruppe for torus'en er isomorf med den fundamentale gruppe (idet den fundamentale gruppe er abelsk).

[redigér] Se også

Elliptisk kurve
Kugle
Overflade

[redigér] Eksterne links

Eric W. Weisstein. "Torus." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Torus.html

Hentet fra "http://da.wikipedia.org../../../t/o/r/Torus.html"

Kategorier: Behøver eftersyn | Oversættelse mangler | Overflader

We provide Linux to the World