Rivestimento

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Y riveste X tramite la mappa p

In topologia, un rivestimento su uno spazio topologico X è una funzione continua p : Y → X da un altro spazio topologico Y in X con questa proprietà: ogni punto x in X ha un intorno aperto U la cui controimmagine in Y è fatta di aperti disgiunti, tali che restringendo la p su ciascuno di questi si ottiene un omeomorfismo su U. Un rivestimento ha molte proprietà notevoli, e perciò è un argomento centrale della topologia.

Diciamo che lo spazio Y riveste X tramite la mappa p. Generalmente per semplicità si chiede anche che X e Y siano entrambi connessi per archi, ed è quanto faremo in questo articolo.

La controimmagine di un punto x è la fibra su x. La cardinalità della fibra non dipende dal punto x, ed è il numero di fogli del rivestimento: può essere finito o infinito.

[modifica] Esempi

Consideriamo la circonferenza unitaria S¹ in R². Allora la funzione p : R → S¹ data da

p(t) = (cos(t), sen(t))

è un rivestimento con un numero finito di fogli. Denotiamo quindi con C^* il piano complesso senza l'origine 0. La mappa p : C^*; → C^* data da

p(z) = zⁿ

è un rivestimento a n fogli per ogni numero naturale positivo n.

[modifica] Proprietà

Un rivestimento è un omeomorfismo locale, ma il viceversa non è sempre vero: in un omeomorfismo locale la cardinalità della fibra su x può cambiare al variare di x.
Una definizione alternativa di rivestimento è la seguente: p: Y → X è un rivestimento se
- è un omeomorfismo locale;
- vale la proprietà di sollevamento dei cammini: se γ è un cammino in X (cioè una mappa continua dall'intervallo unitario [0,1] in X) e y è un punto della fibra di γ(0) allora esiste un unico cammino ρ in Y che solleva γ (cioè p o ρ = γ) partendo da y (cioè ρ(0) = y). La curva ρ è il sollevamento di γ.
Un rivestimento p: Y → X induce una funzione iniettiva sui gruppi fondamentali p_*: π₁(Y,y) → π₁(X,x), per ogni x e y tali che x = p(y).
Il numero di fogli di un rivestimento è pari all'indice del sottogruppo p_*(π₁(Y,y)) dentro π₁(X,x).
Se X è uno spazio topologico localmente semplicemente connesso (e tutti gli spazi topologici "buoni" soddisfano questa proprietà), per ogni sottogruppo H di π₁(Y,y) esistono uno spazio Y ed un rivestimento p:Y → X tali che l'immagine di p_*: π₁(Y,y) → π₁(X,x) sia proprio H. Tale rivestimento è unico a meno di isomorfismi (definiti opportunamente).
Ogni struttura locale di X è ereditata tramite p dallo spazio Y che lo riveste:
- se X è una varietà, lo diventa anche Y
- se X è una superficie di Riemann, lo diventa anche Y in modo che p sia una funzione olomorfa
- se X è un gruppo di Lie (come nei due esempi sopra), lo diventa anche Y in modo che p sia un omomorfismo di gruppi di Lie.

[modifica] Rivestimento universale

Uno spazio topologico che non ha rivestimento universale

Supponiamo nel resto di questo articolo che gli spazi di cui parliamo siano sempre connessi per archi e localmente semplicemente connessi: queste due proprietà molto naturali sono soddisfatte da tutti gli spazi più studiati in topologia. Uno spazio che non le soddisfa contiene almeno un punto con degli intorni molto complicati, come ad esempio l'oggetto mostrato qui a sinistra.

Un rivestimento p:Y → X in cui Y è semplicemente connesso si dice rivestimento universale di X. Le proprietà elencate precedentemente implicano che uno spazio topologico X ha un unico rivestimento universale (a meno di isomorfismi definiti opportunamente), e che il numero di fogli di p è pari alla cardinalità di π₁(X,x).

L'esempio R → S¹ descritto sopra è un rivestimento universale. L'altro esempio C^*; → C^* invece non lo è, perché C^* non è semplicemente connesso.

[modifica] Altri esempi e proprietà

La mappa p: R² → S¹ x S¹ data da

p(x, y) = (cos(x), sen(x), cos(y), sen(y))

è un rivestimento con infiniti fogli sul toro, che è omeomorfo al prodotto S¹ x S¹.

La mappa p: Sⁿ → Pⁿ(R) data da

p(x₀, ..., x_n) = [x₀, ..., x_n]

dalla sfera unitaria in Rⁿ⁺¹ allo spazio proiettivo reale, entrambi di dimensioni n, è un rivestimento con due fogli. Per n>1 la sfera è semplicemente connessa, e quindi è il rivestimento universale dello spazio proiettivo.
Esiste un rivestimento a due fogli del toro sulla bottiglia di Klein.
Se X è compatto, allora Y è compatto se e solo se il rivestimento ha un numero finito di fogli.
Un rivestimento induce degli isomorfismi sui gruppi di omotopia superiori al primo.