Relazione di equivalenza
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Una relazione binaria ≈ tra elementi di un insieme A è una relazione di equivalenza se è:
- riflessiva, cioè se per ogni elemento a di A: a ≈ a;
- simmetrica, cioè se per ogni coppia (a,b) di elementi di A: a ≈ b implica b ≈ a;
- transitiva, cioè se per ogni terna (a,b,c) di elementi di A: a ≈ b e b ≈ c implicano a ≈ c.
Due elementi tra i quali sussista la relazione di equivalenza ≈ si dicono equivalenti (per la relazione ≈). Il sottoinsieme di A che contiene tutti gli elementi equivalenti a un dato elemento a si chiama classe di equivalenza di a (per la relazione ≈) e spesso si indica con [a]≈ o anche con {a}≈.
Ad ogni relazione di equivalenza su un insieme A si associa la partizione dell'insieme A definita dalla collezione delle classi di equivalenza. Infatti, ogni elemento di A appartiene necessariamente a una classe di equivalenza (la [a], a causa della riflessività); ogni elemento a non può appartenere a due classi diverse: se a sta in [b] con b diverso da a, allora b sta in [a] a causa della simmetria e quindi [b]=[a]; tutti gli elementi di [a] sono inoltre equivalenti tra di loro per la transitività della relazione e definiscono quindi tutti la stessa classe di equivalenza.
Viceversa si mostra che ad ogni partizione dell'insieme A si associa una relazione di equivalenza su A.
Abbiamo individuate una applicazione dalla classe delle relazioni di equivalenza alla classe delle partizioni di insiemi ed una applicazione dalla classe delle partizioni di insiemi a quella delle relazioni di equivalenza le quali si trovano essere l'una l'inversa dell'altra. Tra le relazioni di equivalenza e le partizioni di un insieme si ha quindi criptomorfismo; in altre parole le due specie di strutture specie delle equivalenze e specie delle partizioni sono specie criptomorfe. In parole più semplici le due nozioni di equivalenza e di partizione sono del tutto equivalenti e sono e logicamente intercambiabili.
Questa situazione risulta particolarmente vantaggiosa: si possono esaminare le equivalenze e le partizioni da due punti di vista avendo la possibilità di passare agevolmente dall'uno all'altro. Si può incontrare un problema formulato con una equivalenza E (o riguardante collezioni di equivalenze) che si risolve facilmente riformulandolo mediante la partizione associata a E (o in termini di partizioni) e la soluzione può essere riformulata in termini di equivalenza (o delle equivalenze della collezione). Il chiarimento di un criptomorfismo in sostanza mette a disposizione più strumenti di indagine.
L'insieme . delle classi della equivalenza ≈ su A si chiama insieme quoziente di A per la relazione ≈ e viene talvolta indicato con l'espressione A / ≈ ; questo insieme di sottoinsiemi di A si può considerare anche il quoziente di A per la partizione π associata alla equivalenza e scrivere A / π .
