Teorema di Van Kampen

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In matematica, e più precisamente in topologia algebrica, il teorema di Van Kampen è uno dei principali strumenti per il calcolo del gruppo fondamentale di uno spazio topologico. Venne dimostrato indipendentemente da Karl Seifert ed Egbert Van Kampen agli inizi del 1930. Esso afferma che se uno spazio topologico X è unione di due aperti U₁, U₂ che verifichino certe proprietà di connessione allora la struttura del suo gruppo fondamentale è esprimibile in termini dei gruppi fondamentali di U₁, U₂ e dell'intersezione di U₁ e U₂. In tal modo il teorema permette di calcolare il gruppo fondamentale di uno spazio complicato partendo da gruppi fondamentali di spazi più semplici.

[modifica] Un esempio intuitivo

Il concetto che sta alla base del teorema è l'esprimibilità di ogni elemento del gruppo fondamentale come prodotto finito di elementi particolari chiamati generatori.

Ad esempio, sia X lo spazio topologico costituito da due circonferenze A e B che si intersecano in un punto x₀.

Il gruppo fondamentale della prima circonferenza è generato dal laccio a che parte da x₀, fa un giro completo lungo A e termina in x₀. Se l è la classe di omotopia di un qualsiasi laccio in A con punto base in x₀ allora l = aⁿ per qualche numero intero n, dove a^-1 indica il laccio a percorso in senso contrario. Analogamente un generatore per il gruppo fondamentale di B è costituito dal laccio b, come in figura. Se scegliamo ora gli aperti in modo che

$A\subset U_1,\quad\pi (A,x_0)=\pi (U_1,x_0),$

$B\subset U_2,\quad\pi (B,x_0)=\pi (U_2,x_0)$

(e questo è ottenibile facilmente), il teorema di Van Kampen ci dice che il gruppo fondamentale di X ha come generatori a e b. Questo significa che ogni laccio in X con punto base x₀ è deformabile omotopicamente ad una ben determinata composizione dei lacci a, b, a^-1, b^-1.

È importante osservare che non si tratta di un gruppo abeliano, infatti ab è diverso da ba in questo esempio. Generalmente il teorema di Van Kampen tiene conto anche delle relazioni tra i generatori.

[modifica] Enunciato formale

Sia X uno spazio topologico unione di U₁ e U₂ aperti connessi per archi la cui intersezione sia non vuota e connessa per archi. Sia data una presentazione dei gruppi

$\pi (U_1\cap U_2,x_0)=<A|R>,$

π(U 1, x 0) = < A 1 | R 1 > ,

π(U 2, x 0) = < A 2 | R 2 > ,

e si indichino con

$i_1:\pi(U_1\cap U_2,x_0)\rightarrow \pi(U_1,x_0),$

$i_2:\pi(U_1\cap U_2,x_0)\rightarrow \pi(U_2,x_0),$

gli omomorfismi indotti dall'inclusione di $U_1\cap U_2$ in $U 1$ e $U 2$ rispettivamente. Definito l'insieme delle relazioni

$R_{\cap}=\{''i_1(a)=i_2(a)'':a\in A\}$

allora

$\pi (X,x_0)= <A_1\cup A_2|R_1\cup R_2\cup R_{\cap}>.$

[modifica] Alcune applicazioni

Calcolo del gruppo fondamentale della sfera n-dimensionale: siano p e q due punti antipodali (poli opposti) in Sⁿ, con n intero maggiore di 1. Posto

$U 1 = S n - {p},$

$U 2 = S n - {q},$

i gruppi fondamentali di $U 1$ e $U 2$ sono banali, dato che sono contraibili. Pertanto $π(S n) = 0$ . Questo discorso non vale se $n = 1$ : in tal caso l'intersezione tra $U 1$ e $U 2$ non è connessa per archi e il teorema non è applicabile.
Calcolo del gruppo fondamentale del toro:

Il toro T=R²/Z² può essere visto come un quadrato pieno con i lati opposti a, b identificati secondo la stessa direzione di percorrenza come in figura. Siano y il punto centrale del quadrato, z il vertice e x₀ un punto interno.

Scelti $U 1 = T - y$ e $U 2 = T - a, b$ , risulta

$π(U 1) = < a, b > ,$

$π(U 2) = 0,$

dato che $U 1$ è omotopicamente equivalente ad $a, b$ , ossia a due circonferenze con un punto in comune, e $U 2$ è contraibile. Consideriamo ora d un arco da $x 0$ in z e c una circonferenza di base $x 0$ che ruota attorno ad y ed è interamente contenuta in $U 2$ . I lacci dad^-1 e dbd^-1 sono omotopi ad a e b rispettivamente, e possono essere presi come generatori di $π(T, x 0)$ . Il laccio c invece genera il gruppo fondamentale dell'intersezione di $U 1$ e $U 2$ . L'ultima relazione si ottiene dalle equazioni

$i 1 (c) = d a b a - 1 b - 1 d - 1 = (d a d - 1)(d b d - 1)(d a - 1 d - 1)(d b - 1 d - 1)$

$i 2 (c) = 0$

poiché in $U 1$ il laccio c è omotopo a daba^-1b^-1d^-1. In conclusione

$\pi (T)= <x,y|xyx^{-1}y^{-1}>=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}.$
Con il metodo precedente si può calcolare il gruppo fondamentale dello spazio X ottenuto da un poligono di n lati identificando ogni lato in senso orario come in figura.

Qui

$i 1 (c) = d a n d - 1 = (d a d - 1) n$

e

$\pi (X)=<x|x^n>=\mathbb{Z}_n.$

Per n=2 X è il piano proiettivo:

$\pi (\mathbb{P}\mathbb{R}^2)=\mathbb{Z}_2.$