Tore

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Le terme tore a essentiellement deux acceptations distinctes, suivant les usages :

En ingénierie ou en géométrie élémentaire, un tore peut désigner un solide de révolution de l'espace obtenu à partir d'un cercle, ou bien sa surface.
En mathématiques, et en premier en topologie et en géométrie, un tore est un quotient d'un espace vectoriel réel de dimension finie par un réseau, ou tout espace topologique qui lui est homéomorphe.

[modifier] Le solide de révolution

Tore ouvert, pour lequel R = 3 r

Un tore désigne le volume de l'espace euclidien R³ engendré par la rotation d'un cercle C de rayon r autour d'une droite affine D située dans son plan à une distance R de son centre. Dans cette acceptation, certains auteurs désignent par tore plein le solide obtenu, réservant le terme tore pour la surface correspondante. À l'action d'une isométrie affine directe près, le tore (plein) est uniquement déterminé par les deux paramètres réels R et r.

La forme du tore (plein) dépend du signe de R-r :

Si R < r, le tore est dit « croisé » et ressemble visuellement à une citrouille ; le solide est topologiquement une boule fermée de l'espace tridimensionnel, sa surface est une sphère.
Si R = r, le tore est dit « à collier nul ».
si R > r, le tore est dit « ouvert » et ressemble à une chambre à air (exemple francophone) ou à un donut (exemple anglophone).

Pour R = 0, alors le tore (plein) correspondant est effectivement une boule (solide obtenu par la rotation d'un disque autour de l'un de ses diamètres). Certains auteurs réservent la dénomination tore pour R-r positif, voire strictement positif.

Les trois types de tores : Tore croisé, à collier nul, et ouvert.

[modifier] Aire et volume

Pour R-r positif ou nul, on a :

Aire du tore : A = 4 π² r R ;
Volume intérieur du tore : V = 2 π² r² R.

Les théorème de Gysin permettent de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pour R<r) :

[modifier] Groupe des isométries

Pour R>0, parmi les isométries remarquables du tore, on distingue :

Les rotations r_u d'axe (supposé orienté) D et d'angle u ;
Le retournement a par rapport au plan affine P orthogonal à D passant par le centre de C ;
Le retournement b_Q par rapport à tout plan affine Q contenant D ;
La symétrie centrale s par rapport au projeté orthogonal O de C sur D ;
Les symétries axiales par rapport à toute droite passant par O et contenue dans P ;
Les composées d'une rotation r_u par le retournement a.

Evidemment, la symétrie centrale et les symétries axiales s'obtiennent comme composées des retournements décrits. Le groupe G des isométries du tore est isomorphe au produit direct de Z/2Z par le produit semi-direct de S¹ par Z/2Z :

$G=Z/2Z\times (R/2\pi Z\rtimes Z/2Z)$ .

Un isomorphe naturel est décrit comme suit :

r_u correspond à (0,u,0) ;
a correspond à (1,0,0) ;
Pour un plan Q fixé arbitraire, b_Q correspond à (0,0,1).

En particulier, b_ru(Q)=r_ub_Qr_-u correspond à (0,u,1) ; s correspond à (1,π,0) ; ...

[modifier] Applications

En recherche nucléaire énergétique, dans les réacteurs de type tokamak, le plasma est contenu par de forts champs magnétiques dans une chambre de forme torique. L'un de ces réacteurs porte d'ailleurs le nom de Tore Supra. C'est aussi la forme des accélérateurs de particules les synchrotrons
En électricité, la forme idéale du bobinage d'un transformateur est celle du tore.

[modifier] Le tore de dimension n

En topologie, le terme tore est réservé pour désigner des espaces topologiques bien définis à difféomorphisme pres. Il existe plusieurs présentations, toutes équivalentes. On appelle tore de dimension n , habituellement noté dans la littérature mathématique Tⁿ, l'espace topologique unique à homéomorphisme près défini comme :

Produit cartésien de n copies du cercle ;
Quotient de Rⁿ par Zⁿ ;
Plus généralement, quotient d'un espace vectoriel réel de dimension finie n par un réseau (ici, sous-groupe additif discret maximal) ;

Le tore de dimension n est une variété topologique compacte et connexe de dimension n. Obtenu comme quotient d'un espace vectoriel réel, Tⁿ est une variété différentielle (compacte et connexe de dimension n) ; l'atlas maximal correspondant ne dé pend ni du réseau, ni de l'espace vectoriel.

Si E est un espace vectoriel euclidien de dimension n et G un réseau de E, le quotient Tⁿ=E/G se présente naturellement comme une variété plate.

Le groupe fondamental de Tⁿ est le groupe abélien libre à n générateurs, soit Zⁿ.

Le tore de dimension n est l'unique groupe de Lie abélien compact. L'introduction des tores maximaux (sous-groupe de Lie abélien compact maximal) est d'une importance capitale dans l'étude des groupes de Lie compacts.