Postulats de la mécanique quantique

La description du monde microscopique que fournit la mécanique quantique s'appuie sur une vision radicalement nouvelle, et s'oppose en cela à la mécanique classique. Elle repose sur des postulats, ou axiomes.

Sommaire

1 Introduction
2 Formulation mathématique
3 Les postulats

[modifier] Introduction

Les implications de cette nouvelle vision sont tellement complexes, profondes et inhabituelles (par rapport à notre propre expérience) qu'une grande partie de la communauté scientifique a décidé de les éluder, et se contente d'utiliser la théorie, qui a fourni les prévisions les plus précises à ce jour.

Les tenants de cette approche, dite de l'école de Copenhague tiennent à peu près ce discours :

Il importe de remarquer dès maintenant que ces postulats n'ont aucun sens (méta-)physique : ils ne décrivent pas l'univers. Ils sont purement formels, opératoires, en ce qu'ils décrivent les opérations adéquates, mais sans permettre de les interpréter, ni a fortiori d'expliquer pourquoi elles permettent de décrire les phénomènes et même de les prédire. C'est la raison pour laquelle on a pu dire :

« si quelqu'un vous dit qu'il a compris la mécanique quantique, c'est un menteur »

Il s'agit d'une impossibilité radicale, liée à l'absence de lien physique entre les postulats et la réalité, et non d'une « simple » ignorance qui pourrait être comblée à l'intérieur du cadre de la mécanique quantique actuelle.

Bref, la mécanique quantique est parfaitement valide dès maintenant (en attendant une surprise toujours possible...), mais incompréhensible sans complément encore à faire.

[modifier] Formulation mathématique

La formulation mathématique de la mécanique quantique, dans son usage général, fait largement appel à la notation bra-ket de Dirac, qui permet de représenter de façon concise les opérations sur les espaces de Hilbert utilisés en analyse fonctionnelle. Cette formulation est souvent attribuée à John von Neumann.

On donne un espace séparable $\mathcal{H}$ de Hilbert. Les états sont les rayons projectifs de $\mathcal{H}$ . Un opérateur est une transformation linéaire d'un sous-espace dense de $\mathcal{H}$ vers $\mathcal{H}$ . Si cet opérateur est continu, alors cette transformation peut être prolongée de façon unique à une transformation linéaire bornée de $\mathcal{H}$ vers $\mathcal{H}$ . Par tradition, les choses observables sont identifiées avec des opérateurs, bien que ce soit questionable, particulièrement en présence des symétries. C'est pourquoi certains préfèrent la formulation d'état de densité.

Dans ce cadre, le principe d'incertitude d'Heisenberg devient un théorème au sujet des opérateurs non-commutatifs. En outre, on peut traiter des observables continues et discrètes; dans le premier cas, l'espace de Hilbert est un espace de fonctions d'onde de carré intégrables.

[modifier] Les postulats

[modifier] Postulat I

La connaissance de l'état d'un système quantique est complètement contenue, à l'instant t, dans un vecteur normalisable de l'espace des états $\mathcal{H}$ . Il est habituellement noté sous la forme d'un ket $| \psi (t) \rangle$ .

[modifier] Postulat II

À toute propriété observable, par exemple la position, l'énergie ou le spin, il correspond un opérateur hermitien linéaire agissant sur les vecteurs d'un espace de Hilbert $\mathcal{H}$ . Cet opérateur est nommé Observable.

Les opérateurs correspondant aux propriétés observables sont définis par des règles de construction qui reposent sur un principe de correspondance:

L'opérateur de position:

$\hat{\mathbf{Q}} = \mathbf{r}$
L'opérateur d'énergie potentielle classique ou électromagnétique:

$\hat{V}(\mathbf{r}) = V_{cl} (\mathbf{r})$ .
L'opérateur de quantité de mouvement :

$\hat{\mathbf{P}}(\mathbf{r}) = -i\hbar \nabla$ , où $\nabla$ désigne le gradient des coordonnées $\mathbf{r}$
L'opérateur de moment angulaire :

$\hat{\mathbf{L}}(\mathbf{r}) = \hat{\mathbf{Q}} \times \hat{\mathbf{P}} = -i\hbar\mathbf{r} \times \nabla$
L'opérateur d'énergie cinétique :

$\hat{K}(\mathbf{r}) = \frac{\hat{\mathbf{P}} \cdot \hat{\mathbf{P}}}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2$
L'opérateur d'énergie totale, appelé hamiltonien :

$\hat{H} = \hat{K} + \hat{V} = \hat{K}(\mathbf{r}) + V_{cl} (\mathbf{r})$
L'opérateur action du système, appelé lagrangien :

$\hat{L} = \hat{K} - \hat{V}$

N.B. Dans les définitions données ci-dessus, les opérateurs sont représentés en fonction des coordonnées. Une autre représentation, équivalente, mais basée sur les moments linéaires existe aussi.

[modifier] Postulat III

La mesure d'une grandeur physique représentée par l'observable A ne peut fournir que l'une des valeurs propres de A.

Les vecteurs propres et les valeurs propres de cet opérateur ont une signification spéciale: les valeurs propres sont les valeurs pouvant résulter d'une mesure idéale de cette propriété, les vecteurs propres étant l'état quantique du système lors de cette mesure. En utilisant la notation bra-ket, ce postulat peut s'écrire ainsi:

$\hat{A} | \alpha_n \rangle = a_n | \alpha_n \rangle$

où $\hat{A}$ , $| \alpha_n \rangle$ et $a n$ désignent, respectivement, l'observable, le vecteur propre et la valeur propre correspondante.

Les états propres de tout observable $\hat{A}$ sont complets et forment une base orthonormée dans l'espace de Hilbert.

Cela signifie que tout vecteur $| \psi (t) \rangle$ peut se décomposer de manière unique sur la base de ces vecteurs propres ( $| \phi_i \rangle$ ):

$| \psi \rangle = c_1 | \phi_1 \rangle + c_2 | \phi_2 \rangle + ... + c_n | \phi_n \rangle$

[modifier] Postulat IV

La mesure d'une grandeur physique representée par l'observable A, effectuée sur l'état quantique (normalisé) $| \psi (t) \rangle$ , donne le résultat a_n, avec la probabilité P_m égale à |c_n|².

Le produit scalaire d'un état et d'un autre vecteur (qu'il appartienne ou non à $\mathcal{H}$ ) fournit une amplitude de probabilité, dont le carré correspond à une probabilité ou une denstité de probabilité de la façon suivante:

Pour un système constitué d'une seule particule, la fonction d'onde $\Psi_\alpha(\mathbf{r}) = \langle \mathbf{r} | \alpha \rangle$ est l'amplitude de probabilité que la particule est à la position $\mathbf{r}$ . La probabilité $P_\alpha(\mathbf{r})$ de trouver la particule entre $\mathbf{r}$ et $\mathbf{r} + d\mathbf{r}$ est:

$P_\alpha(\mathbf{r}) = {|\langle\mathbf{r}|\alpha\rangle|}^2 \equiv {|\Psi_\alpha(\mathbf{r})|}^2 d^3\mathbf{r}$

Donc $\rho_\alpha(\mathbf{r})={|\langle\mathbf{r}|\alpha\rangle|}^2$ est une densité de probabilité.
Si le système est dans un état $|\alpha\rangle$ , alors l'amplitude de probabilité $C_{\beta\alpha}\,$ et la probabilité $P_{\beta\alpha}\,$ de le retrouver dans tout autre état $|\beta\rangle$ sont:

$C_{\beta\alpha} = \langle\beta|\alpha\rangle$ .

$P_{\beta\alpha} = {|\langle\beta|\alpha\rangle|}^2$ .

Ni $|\alpha\rangle$ , ni $|\beta\rangle$ ne doivent être nécessairement un état propre d'un opérateur quantique.
Dans l'éventualite où un système peut évoluer vers un état $|\alpha, t\rangle$ au temps $t$ par plusieurs trajets différents, alors, pour autant que l'on n'effectue pas de mesure pour déterminer quel trajet a été effectivement suivi, $|\alpha, t\rangle$ est une combinaison linéaire des états $|\alpha_j, t\rangle$ où $j$ spécifie le trajet:

$|\alpha, t\rangle = \sum{w_j |\alpha_j, t\rangle}$

où $w_j\,$ sont les coefficient de la combinaison linéaire. L'amplitude $C_{\beta\alpha}(t) = {|\langle\beta|\alpha, t\rangle|}$ devient alors la somme des amplitudes $C_{\beta\alpha_j}(t)$ et la probabilité $P_{\beta\alpha}(t)\,$ contient des termes d'interférence:

$P_{\beta\alpha}(t) = {|\langle\beta|\alpha, t\rangle|}^2 = {\left|\sum{w_j\langle\beta |\alpha_j, t\rangle}\right|}^2 = {\left|\sum{w_j C_{\beta\alpha_j}(t)}\right|}^2$

Mais si une mesure a déterminé que le trajet $k$ a été suivi, alors les coefficients deviennent $w_j \rightarrow \delta_{jk}$ et les sommes précédentes se réduisent à un seul terme.
En supposant que le système se trouve dans un état $|\alpha\rangle$ , alors la prédiction théorique de la valeur moyenne de la mesure de l'observable $\hat{A}$ est donnée par:

${\langle\hat{A}\rangle}_\alpha = \langle\alpha|\hat{A}|\alpha\rangle$

[modifier] Postulat V

Si la mesure de la grandeur physique A, à l'instant t, sur un système représenté par le vecteur $| \psi \rangle$ donne comme résultat la valeur propre $a_n\,$ , alors l'état du système immédiatement après la mesure est le sous-espace propre associé à $a_n\,$ : $| \alpha_n \rangle$ .

Ce postulat est aussi appelé "postulat de réduction du paquet d'onde".

[modifier] Postulat VI

L'état $\left|\Phi, t\right\rangle$ de tout système quantique non-relativiste est une solution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Phi, t\right\rangle = \hat{H}\left|\Phi, t\right\rangle$

Le sixième postulat est l'équation de Shrödinger. Cette équation est l'équation dynamique de la mécanique quantique. Elle signifie simplement que c'est l'opérateur "énergie totale" du système ou hamiltonien, qui est responsable de l'évolution du système dans le temps. En effet, la forme de l'équation montre qu'en appliquant l'hamiltonien à la fonction d'onde du système, on obtient sa dérivée par rapport au temps c'est-à-dire comment elle varie dans le temps.

Cette équation n'est valable que dans le cadre non relativiste.

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