Polinomio

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Divisibilità di binomi notevoli

In matematica un polinomio è una espressione con costanti e variabili combinate usando soltanto somma, sottrazione e prodotto. In altre parole, è la somma algebrica di alcuni monomi. Ad esempio

x + 3 y - z 2

è la somma di tre monomi. Ogni monomio è un termine del polinomio.

Quando valutati in un opportuno dominio, i polinomi possono essere interpretati come funzioni. Ad esempio, il polinomio

p (x) = x 2 - 3 x + 2

definisce una funzione dai numeri reali in sé.

Quando questo ha senso, le radici del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo. Ad esempio, $p (x)$ ha come radici i valori 1 e 2, poiché

$1^2 - 3\times 1 + 2 = 0, \ 2^2 -3\times 2 + 2 = 0.$

I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'algebra, ma anche dell'analisi e della geometria.

[modifica] Nomenclatura

Un polinomio può essere

ridotto in forma normale, quando è stato semplificato, sono stati accorpati i suoi termini simili e sono stati eliminati gli eventuali monomi nulli. Ad esempio:

x + 3 y + 28 z - 2 y - 28 z

ridotto in forma normale diventa

x + y,

nullo, se consta del solo zero,
monomio, binomio, trinomio, quadrinomio... se è la somma di 1, 2, 3, 4... monomi.

Due polinomi sono generalmente considerati uguali se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:

$x +3y +28z -2y - 28z, \ x+y, \ y+x.$

Il grado di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi. Quindi

2 + x y + y

ha grado due.

I coefficienti di un polinomio sono definiti come l'insieme dei coefficienti dei singoli termini. Quindi i coefficienti di $2 + x y + y$ sono rispettivamente 2, 1 e 1: il coefficiente 1 in un monomio è solitamente sottointeso.

Il termine noto di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o zero, secondo il contesto. Ad esempio, in

x 2 + y 3 + x + 5

il termine noto è l'ultimo monomio, "5".

Un polinomio è omogeneo se tutti i monomi hanno lo stesso grado. Ad esempio,

x 2 + 3 y 2 - x z .

[modifica] Operazioni con i polinomi

Due polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, se

p (x) = x 2 - x,

q (x) = x + 2,

allora la somma ed il prodotto di p e q sono rispettivamente

x 2 - x + x + 2 = x 2 + 2,

(x 2 - x)(x + 2) = x 3 + 2 x 2 - x 2 - 2 x = x 3 + x 2 - 2 x .

Il quoziente di due polinomi non è invece generalmente riconducibile ad un polinomio.

[modifica] Riduzione delle variabili

In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio

p = x 2 + y + 2

può essere considerato anche come polinomio in x soltanto, dando a y il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in y soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio p ha grado 2 rispetto a x, e solo 1 rispetto a y. Ad esempio, il polinomio

x 2 y 3 + z 4

è di grado 5, ma se visto soltanto nelle singole variabili x, y e z ha grado rispettivamente 2, 3 e 4.

[modifica] Polinomi di una sola variabile

Un polinomio con una sola variabile può essere scritto agevolmente nel modo seguente:

$a_0 + a_1x + a_2x^2 +\dots + a_nx^n$

con $a n$ diverso da zero. Con questa scrittura, $a 0$ è il termine noto e $n$ è il grado.

Un tale polinomio è

monico, se $a n = 1$ ,
completo, se tutti gli $a i$ sono diversi da zero, per i = 0, ..., n.

[modifica] Polinomi come funzioni

Un polinomio con una variabile, avente come coefficienti dei numeri reali, è spesso descritto come funzione

$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\ldots + a_nx^n$

dall'insieme dei numeri reali in sé. Per il seguente principio d'identità dei polinomi, questa descrizione è fedele, cioè polinomi diversi risultano essere funzioni diverse:

due polinomi $p$ e $q$ con coefficienti reali tali che $p (x) = q (x)$ per ogni $x$ sono uguali.

A seconda del grado,

un polinomio di grado 0 è una funzione costante,

un polinomio di grado 1 è una funzione lineare,

un polinomio di grado 2 è una funzione quadratica,

un polinomio di grado 3 è una funzione cubica.

[modifica] Esempi

Polinomio di grado 2: f(x) = x² - x - 2 = (x+1)(x-2)	Polinomio di grado 3: f(x) = x³/5 + 4x²/5 - 7x/5 - 2 = 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomio di grado 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5	Polinomio di grado 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

[modifica] Radici di un polinomio

Per approfondire, vedi la voce radice (matematica).

Una radice di un polinomio $p (x)$ è un numero $b$ tale che

p (b) = 0,

cioè tale che, sostituito a $x$ , rende nulla l'espressione. Quindi se

$p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n,$

il numero $b$ è radice se

$p(b) = a_0 + a_1b + a_2b^2 +\ldots +a_nb^n = 0.$

In altre parole, l'insieme delle radici è data dall'intersezione del grafico di $p$ con l'asse delle ascisse.

Un polinomio di grado $n$ può avere al più $n$ radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio

x 2 + 1

poiché $b 2 + 1 > 0$ per ogni $b$ reale. D'altra parte, per il teorema fondamentale dell'algebra ogni polinomio ha esattamente $n$ radici complesse, contate con molteplicità.

[modifica] Anello di polinomi

[modifica] Definizione

Dato un anello $A$ , il simbolo

$A[x_1,\ldots, x_n]$

denota l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili $x_1,\ldots, x_n$ con coefficienti in $A$ . Ad esempio, $A$ può essere un campo come quello dei numeri reali o complessi.

L'insieme $A[x_1,\ldots, x_n]$ risulta essere anch'esso un anello, chiamato anello dei polinomi in $n$ variabili con coefficienti in $A$ . Lo studio delle proprietà di questo anello è una parte importante dell'algebra e della geometria algebrica.

Se $A$ è un campo, l'anello dei polinomi è un'algebra su $A$ , ed è anche un anello euclideo, nel senso che i polinomi possono essere divisi con quoziente e resto come i numeri interi.

[modifica] Proprietà

gli anelli seguenti sono tutti isomorfi in modo naturale:

$A[x,y] \cong (A[x])[y]\cong A[y,x]\cong (A[y])[x]$

se $A$ è un dominio d'integrità, lo è anche $A[x_1,\ldots,x_n]$
se $A$ è un anello a fattorizzazione unica, lo è anche $A[x_1,\ldots, x_n]$
se $A$ è un anello noetheriano, lo è anche $A[x_1,\ldots, x_n]$

[modifica] Esempi

Z[x] non è un dominio ad ideali principali, e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l'ideale $(2, x)$ generato dai polinomi 2 e $x$ non è principale.
R[x, y] non è un dominio ad ideali principali, e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l'ideale $(x, y)$ generato dai polinomi $x$ e $y$ non è principale.
Il principio di identità dei polinomi non vale su un campo qualsiasi. Ad esempio, se K è il campo finito con due elementi

$\mathbb K = \mathbb Z/_{2\mathbb Z}$

allora il polinomio

f (x) = x + x 2

è tale che

f (x) = 0

per ogni

x

in K, benché non sia il polinomio nullo.

[modifica] Derivata

Un polinomio a coefficienti reali

$p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 \ldots +a_nx^n$

definisce una funzione derivabile da R in R, la cui derivata è

$p'(x) = a_1 + 2a_2x + \ldots +na_nx^{n-1}.$

Quindi la derivata (n+1)-esima di un polinomio di grado n è la funzione zero.

[modifica] Derivata formale

Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come definizione di derivata (chiamata derivata formale) nel caso in cui il polinomio abbia coefficienti in un anello $A$ , anche in assenza del calcolo infinitesimale. Molte delle proprietà della derivata si estendono anche alla derivata formale.