Polinomi di Hermite
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In matematica, i polinomi di Hermite costituiscono una sequenza polinomiale: per ogni n=0,1,2,... definiamo
Questi polinomi sono così chiamati in onore del matematico francese Charles Hermite. Dalle regole di derivazione si vede abbastanza facilmente che per ogni n si ha un polinomio di grado n; inoltre dato che si ha una funzione prodotto di una funzione pari per una ottenuta applicando n volte un operatore che cambia la parità ad un'altra funzione pari, si ha che ogni polinomio ha la parità del suo grado:
La precedente definizione è quella preferita dai cultori di calcolo delle probabilità, in quanto collegata nel modo più semplice alla funzione
che è la funzione di densità di probabilità per una distribuzione normale con valore atteso 0 e deviazione standard 1. In fisica si preferisce utilizzare la seguente definizione
che fornisce distribuzioni con diverse varianze (v.o.): esse sono più pratiche, in particolare, per lo studio delle funzioni d'onda dell'oscillatore armonico quantistico. Si trova facilmente che
I primi polinomi di Hermite sono:
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[modifica] Ortogonalità
I polinomi di Hermite costituiscono una successione di polinomi ortogonali sull'intera retta reale rispetto alla funzione peso
cioè abbiamo
Questo equivale a dire che essi sono ortogonali rispetto alla distribuzione normale di probabilità. Essa costituisce una base ortogonale dello spazio di Hilbert delle funzioni a valori complessi f(x) a quadrato sommabile sull'intera retta reale, funzioni che soddisfano la
Per questo spazio il prodotto interno di due suoi vettori f e g è dato dall'integrale che comprende una funzione gaussiana
[modifica] Uguaglianze varie
Il polinomio di Hermite n-esimo soddisfa l'equazione differenziale di Hermite:
La sequenza dei polinomi di Hermite soddisfa anche la regola di ricorrenza
I polinomi di Hermite costituiscono una sequenza di Appell, cioè, sono una sequenza polinomiale che soddisfa l'identità
o equivalentemente,
(l'equivalenza di queste ultime due identità non è ovvia, ma la dimostrazione è un esercizio di routine). I polinomi di Hermite soddisfano l'identità
dove D rappresenta l'operatore di differenziazione rispetto a x, e l'operatore esponenziale è definito con lo sviluppo in serie di potenze dell'operatore D. Osserviamo che non si pongono questioni delicate di convergenza per queste serie quando operano su polinomi, in quanto solo un numero finito di potenze dell'operatore derivazione non si riduce all'operatore nullo. L'esistenza di qualche serie formale di potenze g(D) con coefficienti costanti non nulli, tale che si possa scrivere Hn(x) = g(D)xn, è equivalente all'asserzione che questi polinomi formano una sequenza di Appell. Dal momento che costituiscono una sequenza di Appell, essi a fortiori formano una sequenza di Sheffer.
Se X è una variabile casuale relativa alla distribuzione normale con deviazione standard 1 e valore atteso μ ed E denota l'aspettazione, allora
[modifica] Varianza generalizzata
Mentre i polinomi di Hermite definiti sopra sono ortogonali rispetto alla distribuzione di probabilità normale standard
che ha valore atteso 0 e varianza 1, può risultare utile servirsi di polinomi di Hermite
relativi ad una varianza data da un qualsiasi reale positivo α. Questi sono polinomi ortogonali rispetto alla distribuzione normale di probabilità
Essi sono esprimibili come
[modifica] Caratterizzazione umbrale
Se si introducono i coefficienti delle potenze dalla variabile con la equazione
la successione polinomiale il cui n-esimo termine è
è la composizione umbrale delle due successioni polinomiali; si può dimostrare che essa soddisfa le identità
e
L'ultima identità si riesprime dicendo che questa famiglia parametrizzata di successioni di polinomi è una cross-sequence.
[modifica] Varianza negativa
Dal momento che le sequenze di polinomi formano un gruppo per l'operazione della composizione umbrale, si può definire con:
la sequenza che risulta l'inversa gruppale di quella denotata in modo simile ma senza il segno meno; questo consente di parlare di polinomi di Hermite con varianza negativa. Per α > 0, i coefficienti di Hn[−α](x) sono esattamente i valori assoluti dei corrispondenti coefficienti di Hn[α](x).
Questi costituiscono i momenti delle distribuzioni di probabilità normale: Il momento n-esimo della distribuzione normale con valore atteso μ e varianza σ2 è
dove X è una variabile casuale con la distribuzione normale specificata. Dunque come caso speciale della identità di cross-sequence si ricava che
[modifica] Autofunzioni della trasformata di Fourier
Le funzioni
si possono considerare autofunzioni della trasformata di Fourier, con autovalori −in.
[modifica] Interpretazione enumerativa dei coefficienti
Nel polinomio di Hermite Hn(x) di varianza 1, il valore assoluto del coefficiente di xk è il numero delle partizioni (non ordinate) di un insieme di n elementi in k singoletti e (n − k)/2 doppietti (coppie non ordinate).
[modifica] Serie di Edgeworth
I polinomi di Hermite si incontrano anche nella teoria delle serie di Edgeworth.
[modifica] Voci correlate
[modifica] Bibliografia
- Erdélyi, A.; Magnus W.; Oberhettinger F.; Tricomi F. G. eds. (1953) Higher Transcendental Functions. Krieger. Vol. II, Ch. 10
Polinomi di Hermite · Polinomi di Legendre · Polinomi di Jacobi · Polinomi di Gegenbauer · Polinomi di Chebyshev · Polinomio di Bernoulli · Polinomi ortogonali · Sequenza di Sheffer