Moto armonico

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Si definisce moto armonico il moto di un oggetto descrivibile, come funzione del tempo, attraverso l'espressione:

(1) $x(t) = x_0 + A \cos\left(\omega t + \theta_0\right)$

Il moto armonico è strettamente legato al moto circolare uniforme, in quanto la proiezione del moto circolare su una qualsiasi retta dà luogo ad un moto armonico.

In generale ci si trova di fronte ad un moto armonico ogni qualvolta l'oggetto sia soggetto ad una forza periodica, per esempio elastica (ad esempio quella di una molla) con intensità proporzionale allo spostamento, direzione uguale a quella dello spostamento e verso opposto:

$\vec F = - k \vec x$

Il moto armonico semplice è sempre descritto da un'equazione della forma (1) dove: A è l'ampiezza delle oscillazioni, $T = 2π / ω$ è il periodo, ovvero la durata di un'oscillazione, mentre $x (t) - x 0$ è l'elongazione.

Indice

1 Moto armonico semplice
2 Moto armonico smorzato
3 Moto armonico forzato con termine di smorzamento
4 Voci correlate

[modifica] Moto armonico semplice

Il moto armonico semplice è il moto di un oscillatore armonico, nel caso non sia nè forzato nè attenuato da forze esterne. Tale moto è periodico, in quanto si ripete ad intervalli regolari in maniera identica e può essere descritto attraverso una funzione sinusoidale di ampiezza costante. E' caratterizzato da oscillazioni di ampiezza costante, positiva e dipendente dalle condizioni iniziali del moto; dal periodo, ovvero il tempo di ripetizione di una oscillazione, e da una fase che dipende da velocità e spostamento dell'oggetto in movimento.

Si consideri una molla ideale con costante elastica k, esso soddisfa l'equazione differenziale:

$m \ddot x + kx = 0$

dove m è la massa di un corpo posto all'estremità della molla, possiamo ricavare l'equazione del moto. La soluzione, molto semplice, è

$x(t) = A \cos(\sqrt \frac k m t + \theta_0)$

Questa soluzione ci dà direttamente la pulsazione dell'oscillazione:

$\omega = \sqrt \frac {k}{m}$

La forza di richiamo esercitata dalla molla sarà

$F = m \ddot x = m [- \frac k m A \cos(\sqrt \frac k m t + \theta_0)] = - k A \cos(\omega t+ \theta_0)$

diretta, come dice il nome, nel verso opposto allo spostamento. Il periodo ovvero l'inverso della frequenza, sarà

$T = \frac {2\pi} \omega = 2 \pi \sqrt \frac m k$

[modifica] Moto armonico smorzato

Nello studio di fenomeni fisici reali i corpi in movimento sono di solito soggetti a forze smorzanti il moto stesso, come ad esempio l' attrito. Tali forze sono di solito direttamente proporzionali alla velocità: F = c dx/dt. L'equazione del bilancio di forze diviene:

$m \ddot x + c \dot x + kx = 0$

Dividendo per m e ponendo $c = \gamma m\ ,\ k = \omega^2 m$ , abbiamo

$\ddot x + \gamma \dot x + \omega ^2 x = 0$

Per ottenere la soluzione di una equazione differenziale lineare è necessario prima di tutto risolvere l'equazione di secondo grado associata:

s 2 + γ s + ω 2 = 0

che fornisce le due radici:

$s_1= - {\gamma \over 2}-{1\over 2}\sqrt{\gamma^2-4\omega^2}$

$s_2= - {\gamma \over 2}+{1\over 2}\sqrt{\gamma^2-4\omega^2}$

Si noti che entrambe le soluzioni sono negative.

Distinguiamo tre casi:

[modifica] Sovrasmorzamento

Si verifica quando $γ 2 > 4ω 2$ ; in tal caso la soluzione dell'equazione differenziale del moto fornisce la legge oraria

$x(t)=a_1 e^{-|s_1|t}+a_2 e^{-|s_2|t}$

Le costanti $a 1$ e $a 2$ si determinano imponendo che la soluzione soddisfi le condizioni iniziali

$x (0) = x 0$

$\dot x(0) = v_0$

ovvero che all'istante di tempo $t = 0$ il punto si trovi nella posizione di elongazione $x 0$ con velocità $v 0$ . Si ottiene:

$a_2={v_0+x_0|s_1|\over |s_1|-|s_2|}$

$a_1={2x_0|s_1|-x_0|s_2|+v_0\over |s_1|-|s_2|}$

Dal punto di vista fisico questa soluzione indica che lo smorzamento viscoso è tanto alto da impedire qualunque oscillazione del punto attorno alla posizione di equilibrio $x = 0$ .

[modifica] Smorzamento critico

Si verifica quando $γ 2 = 4ω 2$ ; in tal caso la soluzione dell'equazione differenziale del moto fornisce la legge oraria

$x(t)=(a+bt)e^{-{\gamma\over 2}t}$

ed ancora una volta le costanti $a$ e $b$ vanno determinate dalle condizioni iniziali, in analogia col caso di sovrasmorzamento; la legge oraria diventa quindi:

$x(t)=\left(x_0+v_0 t+{\gamma x_0 t\over 2}\right)e^{-{\gamma\over 2}t}$

Come si vede dalla figura il sistema, sebbene sia in grado di dare inizio ad un'oscillazione, la vede smorzarsi prima del suo completamento (ovvero prima che il punto passi per la posizione di equilibrio).

[modifica] Sottosmorzamento

Si verifica quando $γ 2 < 4ω 2$ ; in questo caso lo smorzamento non è particolarmente intenso, ed il sistema riesce a compiere qualche oscillazione attorno alla posizione d'equilibrio $x = 0$ . In effetti in questo caso le radici $s 1$ e $s 2$ sono complesse (essendo l'argomento della radice negativo); ciò comporta che la soluzione dell'equazione differenziale contenga un termine con esponenziale complesso, il quale rappresenta per l'appunto un termine "oscillante".

Ponendo $\omega_1=(\sqrt{4\omega^2-\gamma^2})/2$ si ha come soluzione la legge oraria:

$x(t)=e^{-{\gamma\over 2} t}(A\cos\omega_1 t+B\sin\omega_1 t)$

Quindi trattasi palesemente di un'oscillazione di frequenza $\omega_1\over 2\pi$ , la cui ampiezza diminuisce esponenzialmente nel tempo.

Si noti ancora che la pulsazione di oscillazione nel caso di piccolo smorzamento è inferiore alla pulsazione propria (la pulsazione alla quale oscillerebbe il sistema non influenzato dall'attrito viscoso). Questo ha un chiaro significato fisico: la presenza di viscosità rallenta il movimento dell'oscillatore.

[modifica] Moto armonico forzato con termine di smorzamento

Si tratta del caso visto nella sezione precedente con in aggiunta un termine oscillante che dipende sinusoidalmente dal tempo:

$\ddot x+\gamma\dot x+\omega^2 x={F_0\over m}\cos(\omega_f t)$

Il significato fisico della precedente equazione differenziale è che l'accelerazione del punto materiale (di massa $m$ ) è il risultato della forza elastica di richiamo, del termine di smorzamento, e del nuovo termine oscillante periodico (di periodo $T = 2π / ω f$ ) che, dando energia al sistema, impedisce che quest'ultimo tenda alla posizione di equilibrio ( $x = 0$ ).

Ancora una volta facciamo riferimento alla teoria delle equazioni differenziali lineari, utilizzando la seguente legge oraria, che descrive l'elongazione dell'oscillatore di massa m in funzione del tempo:

$x(t)=Ae^{-{\gamma\over 2}t}\cos(\omega_1 t+\phi)+B\cos(\omega_f t-\delta)$

dove:

$\delta=\arctan\left({\gamma\omega_f\over\omega^2-\omega_f^2}\right)$

$B={F_0/m\over\sqrt{(\omega^2-\omega_f^2)^2+\gamma^2\omega_f^2}}$

Si osservi che il moto totale è la somma di due moti relativi: uno oscillante smorzato con una certa pulsazione $ω 1$ (quella dell'oscillatore smorzato) ed uno oscillante di ampiezza costante alla pulsazione propria della forza esterna di ampiezza $B$ .
Il sistema ha dunque un transiente oscillante iniziale che svanisce esponenzialmente col tempo, lasciando il posto ad un'oscillazione pura ad ampiezza costante; questa oscillazione è determinata essenzialmente dalla forza esterna, e presenta uno sfasamento con essa. Osserviamo il grafico dell'ampiezza del moto $B$ dell'oscillatore in funzione della pulsazione della forza esterna $ω f$ :

Dal grafico (e dall'espressione di $B$ in funzione di $ω f$ ) si evince facilmente che l'ampiezza massima si ha in corrispondenza di $ω f = ω 0$ :

$B_{max}={F_0/m\over\gamma\omega_0}$ ,

ovvero quando la forza esterna ha pulsazione pari a quella propria dell'oscillatore libero (cioè senza attrito viscoso). Inoltre se la resistenza viscosa] $γ$ diventa sempre più piccola, l'ampiezza massima $B m a x$ aumenta sempre di più (tendendo all'infinito per $γ$ che tende a zero).

La precedente curva di sfasamento (la curva della funzione $\delta\left(\omega_f\right)$ ) mostra che elongazione e forza non sono mai in fase tranne nel caso degenere in cui $ω f = 0$ , il che implica l'assenza del termine oscillante forzante. Per $ω f = ω 0$ (in risonanza), l'elongazione si dice in "quadratura di fase" con la forza esterna.

[modifica] Voci correlate

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