Trasformazione lineare

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In matematica, una trasformazione lineare (chiamata anche applicazione lineare o mappa lineare) è una funzione tra due spazi vettoriali che preserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per scalare. In altre parole, preserva le combinazioni lineari.

Nel linguaggio dell'algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali.

[modifica] Definizione e prime conseguenze

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K$ . Una funzione $f:V\to W$ è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà

$f(x+y)=f(x)+f(y) \,\qquad$ (additività)
$f(ax)=af(x) \,\qquad$ (omogeneità)

per ogni coppia di vettori $x$ e $y$ in $V$ e per ogni scalare $a$ in $K$ .

Equivalentemente, $f$ è lineare se "preserva le combinazioni lineari", ovvero se

$f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m)$

per ogni insieme finito di vettori $x_1,\ldots, x_m$ e di scalari $a_1,\ldots,a_m$ .

Quando $V$ e $W$ possono essere considerati come spazi vettoriali su differenti campi, è importante evitare ogni ambiguità e specificare quale campo è stato utilizzato nella definizione di "lineare". In questo caso parliamo di mappe $K$ -lineari.

Se $f:V\to W$ è una applicazione lineare, allora necessariamente

$f(0_V) = 0_W \,\!$

dove $0 V$ e $0 W$ sono gli zeri rispettivamente di $V$ e $W$ .

[modifica] Esempi

La moltiplicazione per una costante fissata $a$ in $K$

$f(v) = av \,\!$

è una trasformazione lineare su qualsiasi spazio vettoriale su $K$ .
Una rotazione del piano euclideo rispetto all'origine di un angolo fissato.
Una riflessione del piano euclideo rispetto ad una retta passante per l'origine.
La proiezione di uno spazio vettoriale V decomposto in somma diretta

$V = U\oplus W$

su uno dei due sottospazi U o W.
Una matrice $A$ di tipo $m\times n$ con valori reali definisce una trasformazione lineare

$L_A:\R^n\to\R^m$

$L_A(v) = Av \,\!$

dove $A v$ è il prodotto di $A$ e $v$ . Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è essenzialmente di questo tipo: si veda la sezione seguente.
L'integrale di una funzione reale su un intervallo definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale delle funzioni continue definite sull'intervallo nello spazio vettoriale R.
La derivata definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale di tutte le funzioni derivabili in qualche intervallo aperto di R nello spazio di tutte le funzioni.
Lo spazio C dei numeri complessi ha una struttura di spazio vettoriale complesso di dimensione 1, e anche di spazio vettoriale reale di dimensione 2. La coniugazione

$f:\mathbb C\to \mathbb C$

$f(z) = \bar z$

è una mappa R-lineare ma non C-lineare: infatti la proprietà di omogeneità vale solo per scalari reali.

[modifica] Matrice associata

Per approfondire, vedi la voce matrice associata ad una applicazione lineare.

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Scelte due basi $B V$ e $B W$ per $V$ e $W$ , ogni trasformazione lineare da $V$ a $W$ è rappresentabile come una matrice nel modo seguente.

Scriviamo nel dettaglio le basi

$B_V = (v_1,\ldots, v_n) \,\!$

$B_W = (w_1,\ldots, w_m) \,\!$

Ogni vettore $v$ in $V$ è univocamente determinato dalle sue coordinate $c_1, \ldots, c_n$ , definite in modo che

$v=c_1 v_1+\cdots+c_n v_n.$

Se $f:V\to W$ è una trasformazione lineare,

$f(v) = f(c_1 v_1+\cdots+c_n v_n)=c_1 f(v_1)+\cdots+c_n f(v_n).$

Quindi la funzione $f$ è determinata dai vettori $f(v_1),\ldots,f(v_n).$ Ciascuno di questi è scrivibile come

$f(v_j)=a_{1j} w_1 + \cdots + a_{mj} w_m.$

Quindi la funzione $f$ è interamente determinata dai valori di $a i, j$ , che formano la matrice associata a $f$ nelle basi $B V$ e $B W$ .

La matrice associata $A$ è di tipo $m\times n$ , e può essere usata agevolmente per calcolare l'immagine $f (v)$ di ogni vettore di $V$ grazie alla relazione seguente:

$A [v]_{B_V} = [w]_{B_W}$

dove $[v]_{B_V}$ e $[w]_{B_W}$ sono le coordinate di $v$ e $w$ nelle rispettive basi.

Notiamo che la scelta delle basi è essenziale: la stessa matrice, usata su basi diverse, può rappresentare applicazioni lineari diverse.

[modifica] Struttura di spazio vettoriale

La composizione di trasformazioni lineari è anch'essa una trasformazione lineare: se $f:V\to W$ e $g:W\to Z$ sono applicazioni lineari, allora lo è anche

$g\circ f: V \to Z.$
Se $f:V\to W$ e $g:V\to W$ sono lineari, allora lo è la loro somma $f + g$ , definita dalla relazione $(f + g)(v) = f (v) + g (v).$
Se $f:V\to W$ è lineare e $a$ è un elemento del campo $K$ , allora la mappa $a f$ , definita da $(a f)(v) = a (f (v))$ , è anch'essa lineare.

Le proprietà precedenti implicano che l'insieme Hom( $V$ , $W$ ) delle applicazioni lineari da $V$ in $W$ è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale formato da tutte le funzioni da $V$ in $W$ .

Nel caso finito-dimensionale, dopo aver fissato delle basi, composizione, somma e prodotto per scalare di mappe lineari corrispondono rispettivamente a moltiplicazione di matrici, somma di matrici e moltiplicazione di matrici per scalare. In altre parole, le basi definiscono un isomorfismo

$\textrm{Hom}(V,W) \to M(n,m)$

tra gli spazi vettoriali delle applicazioni lineari e delle matrici $n\times m$ , dove $m$ e $n$ sono le dimensioni rispettivamente di $V$ e $W$ .

[modifica] Nucleo e immagine

Per approfondire, vedi la voce teorema della dimensione.

Se $f:V\to W$ è lineare, si definisce il nucleo (in inglese kernel) e l' immagine di $f$ come

$\ker(f)=\{\,x\in V:f(x)=0\,\}$

$\operatorname{im}(f)=\{\,f(x):x\in V\,\}$

ker( $f$ ) è un sottospazio di $V$ e im( $f$ ) è un sottospazio di $W$ . Se $V$ e $W$ hanno dimensione finita, il teorema della dimensione asserisce che:

$\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{im}( f )) = \dim( V ).$

[modifica] Endomorfismi e automorfismi

Una trasformazione lineare $f:V\to V$ è un endomorfismo di $V$ . L'insieme di tutti gli endomorfismi End( $V$ ) insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'algebra associativa con unità sul campo $K$ : in particolare formano un anello e un spazio vettoriale su $K$ . L'elemento identità di questa algebra è la trasformazione identità di $V$ .

Un endomorfismo biiettivo di $V$ viene chiamato automorfismo di $V$ ; la composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di $V$ forma un gruppo, il gruppo generale lineare di $V$ , chiamato Aut( $V$ ) o GL( $V$ ).

Se la dimensione di $V$ è finita basterà che f sia iniettiva per poter affermare che sia anche suriettiva (per il teorema della dimensione). Inoltre l'isomorfismo

$\textrm{End}(V)\to M(n)$

fra gli endomorfismi e le matrici quadrate $n\times n$ descritto sopra è un isomorfismo di algebre. Il gruppo degli automorfismi di $V$ è isomorfo al gruppo lineare generale GL( $n$ , $K$ ) di tutte le matrici $n\times n$ invertibili a valori in $K$ .