Komplexa tal

Wikipedia

De komplexa talen är en utvidgning av de reella talen: den reella tallinjen är en av linjerna i det komplexa talplanet. Varje komplext tal kan representeras av två reella tal a och b där a kallas realdelen och b imaginärdelen till det komplexa talet z. Om b ≠ 0 så kallas z icke-reellt (till exempel 2 + 4i), och om a = 0 kallas talet rent imaginärt (t.ex 4i). Ett komplext tal kan skrivas som

z = (a, b) eller z = a + bi,

där i är den imaginära enheten som definieras av

i 2 = - 1.

Alternativt kan man också tolka ett komplext tal geometriskt som en punkt eller vektor i det komplexa talplanet:

z = r·e^i·φ = r·(cos φ + i sin φ)

där r är avståndet från origo till punkten och φ är vinkeln från den reella axeln till en linje genom origo och punkten. r kallas då absolutbeloppet för z och skrivs |z|. φ kallas argumentet för z och skrivs arg z.

Innehåll

1 Historia
2 Definition
3 Egenskaper
- 3.1 Optimerad komplex multiplikation
4 Användningsområden
5 Tidigare användande av komplexa tal
6 Se även
7 Externa länkar

[redigera] Historia

På 1500-talet dök kvadratrötter ur negativa tal upp i lösningarna till 3:egrads- och 4:egradsekvationer som upptäcktes av de italienska matematikerna Niccolo Fontana Tartaglia och Gerolamo Cardano. Även om man bara var intresserade av reella lösningar, ledde dessa formler ibland till sådana kvadratrötter som mellanresultat.

Namnet imaginära för sådana tal myntades av René Descartes på 1600-talet och man betraktade dem länge med stor misstänksamhet. Komplexa tal accepterades egentligen först efter att deras geometriska tolkning ovan hade beskrivits och publicerats av Caspar Wessel 1799. Denna beskrivning återupptäcktes flera år senare, och populariserades, av Carl Friedrich Gauss. Den moderna definitionen som ett par av reella tal infördes på 1800-talet av William Rowan Hamilton.

[redigera] Definition

Mängden av komplexa tal $\mathbb C$ definieras som mängden av ordnade talpar $(a, b)$ tillsammans med operatorerna + och · som definieras enligt:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)$

Definierade på detta sätt utgör $\mathbb C$ en algebraisk struktur som benämns kropp (vilket bland annat innebär att både addition och multiplikation är tillåtna operationer som inte leder utanför talmängden).

De reella talen är komplexa tal av typen $(a,0)$ , och den imaginära enheten i är det komplexa talet $(0,1)$ . Alla tal $(0, b)$ , det vill säga alla tal $b i$ , sägs vara rent imaginära.

Det komplexa talplanet, som innehåller mängden $\mathbb C$ , kallas också för arganddiagram.

[redigera] Egenskaper

När ett komplext tal tolkas geometriskt blir addition av två komplexa tal helt enkelt vektoraddition av två vektorer. Multiplikation motsvaras av rotationer. T.ex motsvarar multiplikation med i en vridning 90° moturs.

Eulers formel säger att e^i·φ= (cos φ + i sin φ). Detta visar på ett djupt samband mellan exponentialfunktionen e^x och de trigonometriska funktionerna cosinus och sinus. Formeln innebär också att ett godtyckligt komplext tal z kan skrivas som

z = (a, b) = r·e^i·φ,

där

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ och

$\varphi = \operatorname{arctan}(b/a).$

Observera att arccosfunktionen har en period på 180°, därför måste tecknet på vinkeln beaktas vid uträkningen. Ovanstående formel för beräkning av vinkeln stämmer bara om ingen eller båda a och b är positiva, alltså i första och tredje kvadranten i det komplexa talplanet. I andra och fjärde får man felaktigt tecken på vinkeln med denna formel, vilket givetvis lätt korrigeras genom att multiplicera den erhållna vinkeln med -1.

Absolutbeloppet |z| av ett komplext tal z definieras som

$\left|z\right| = r = \sqrt{a^2 + b^2}.$

Konjugatet $\bar{z}$ till ett komplext tal z = (a, b) definieras som

$\bar{z} = (a, -b) = a - \mathrm{i}b.$

En ekvation av typen p(x) = 0 där p är ett polynom av graden n har exakt n komplexa rötter. Dess konjugat är också en rot om talet har en imaginärdel. Detta är känt som Algebrans fundamentalsats.

[redigera] Optimerad komplex multiplikation

Enligt definitionen ovan kräver en komplex multiplikation fyra reella multiplikationer och två reella additioner/subtraktioner:

$(a, b) \cdot (c, d) = (ac-bd, bc+ad)$

Vid datorberäkningar är multiplikationer ofta tidsmässigt kostsamma jämfört med additioner och subtraktioner. Det kan då löna sig att använda en alternativ metod för att utföra den komplexa multiplikationen. Denna fås genom att inse att

(a c - b d, b c + a d) = (a (c + d) - (a + b) d, a (c + d) - (a - b) c)

och att resultatet av $a (c + d)$ kan återanvändas. Denna metod kräver tre reella multiplikationer och fem additioner/subtraktioner. Detta är sant för lite äldre datorer men tiderna förändras snabbt i den världen. Med moderna flyttalsprocessorer så tar en addition lika lång tid att genomföra som en multiplikation. Utförs multiplikationen med en sådan är "optimeringen" alltså mera tidskrävande.

[redigera] Användningsområden

Komplexa tal är mycket användbara inom fysiken, till exempel för att beskriva vågrörelser eller svängningar inom elektromagnetism. Inom elektrotekniken används ofta komplexa tal i transformer för att underlätta vid beräkningar på växelströmskretsar. Detta för att man med komplexa tal enkelt hanterar både absolutbelopp och vinkel. Vilket man behöver göra för att räkna på belopp och fasförskjutning på spänningar och strömmar. Fouriertransformen och Laplacetransformen är andra exempel där komplexa tal används för att underlätta beräkningar inom bl.a. elektroteknik och maskinteknik. Kvantmekaniska vågfunktioner är komplexa.

[redigera] Tidigare användande av komplexa tal

Flera av Leonhard Eulers mest betydande upptäckter vilar väsentligt på införande av komplexa tal. Abels skapelse, de elliptiska funktionerna, bragte än mer de komplexa talen i förgrunden vid matematisk forskning. Så blev ytterligare fallet, när den moderna funktionsteorien framväxte ur Abels, Cauchy, Weierstrass' och Riemanns arbeten, och den förnämsta synpunkt, från vilken den matematiska vetenskapen, sådan den tills nu blivit utvecklad, f. n. kan och bör uppfattas, finns också inom teorien för de komplexa talen.

Den allmänt antagna geometriska tolkningen av komplexa tal bildade av två grundenheter förekommer tidigast hos norrmannen Caspar Wessel (1798), något senare hos fransmannen Jean-Robert Argand och slutligen hos Carl Friedrich Gauss, vilken sistnämnde var den förste, som visste tillgodogöra den oöverträffliga hjälp den så införda geometriska åskådningen skänkte algebra, talteori och analys.

Carl Friedrich Gauss har uttalat och Karl Weierstrass har bevisat, att införande av högre komplexa tal, bildade av flera än två grundenheter, inte medför fördelar, jämförliga med dem, som vinns genom införande av de komplexa av två grundenheter bildade talen.