Komplekse tal

Fra Wikipedia, den frie encyklopædi

Talsystemer i matematik .
Elementære talmængder
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$
Naturlige tal	$\mathbb{N}$ = { 1,2,3,...}
Heltal	$\mathbb{Z}$ = {...,-2,-1,0,1,2,...}
Rationale tal	$\mathbb{Q}$ = { 0/1, 1/1, -1/1, 1/2, -1/2, 2/2, -2/2, 1/3, -1/3, ...}
Reelle tal	$\mathbb{R}$ = $\{\sqrt{2}, e , \pi,\ldots\}$
Komplekse tal	$\mathbb{C}$ = $\{a+bi \mid a,b\in \mathbb{R}\}$
Andre elementære talmængder
Primtal	$\mathbb{P}$ = { 2,3,5,7,11,.. }
Irrationale tal	$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$
Konstruerbare tal
Algebraiske tal
Transcendente tal	$\mathbb{T}\mathrm{r}$
Beregnelige tal
Imaginære tal
Split-komplekse tal	R^1,1
Komplekse udvidelser
Bikomplekse tal
Hyperkomplekse tal
Kvaternioner	$\mathbb{H}$ = { a+bi+cj+dk \| a,b,c,d ∈ R }
Oktonioner
Sedenioner
Superreelle tal
Hyperreelle tal
Surreelle tal
Taltyper og særlige tal
Nominelle tal
Ordinaltal	{} størrelse, position {n}
Kardinaltal	{ $\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots$ }
P-adiske tal
Heltalsfølger
Matematiske konstanter
Store tal
Uendelig ∞
Konstantliste
π - i - e - φ - γ

Komplekse tal forener et reelt og et imaginært tal i en slags "par": Billedlig talt (og i forbindelse med programmering) kan man beskrive et komplekst tal som to mere eller mindre "almindelige tal", kaldet realdelen og imaginærdelen, sat sammen til en enhed. Ganske som med de "almindelige", reelle tal, kan man foretage en lang række regneoperationer med disse komplekse tal, og de bruges ofte til at beskrive og regne på ting som både har en størrelse og en "retning" eller vinkel, f.eks. elektriske vekselstrømme med deres størrelse og faseforhold.

Indholdsfortegnelse

1 Definition
2 Rektangulær og polær repræsentation
3 Regneoperationer uden den imaginære enhed
4 Regneoperationer med den imaginære enhed
5 Anvendelser
6 Ligheder med og forskelle fra vektorer
7 Se også

[redigér] Definition

Mens de reelle tal kan markeres som et bestemt punkt på en tallinje eller "skala", markeres et komplekst tal med et punkt i den matematiske plan; en todimensional flade som f.eks. et stykke papir. Tegningen til højre viser et Argand-diagram; det illustrerer mængden $\mathbb{C}$ , der omfatter alle komplekse tal: De reelle tal og de imaginære tal er delmængder af de komplekse tal, og ligger langs hhv. den reelle akse og den imaginære akse.

[redigér] Rektangulær og polær repræsentation

På illustrationen er vist det punkt der repræsenterer det komplekse tal z: Der er to måder at referere til dette tal på:

Punktet for z ligger ud for realdelen x på den reelle akse, og ud for imaginærdelen y på den imaginære akse, så man kan beskrive tallet ved dets real- og imaginærdel: z = x + i·y. Dette kaldes for rektangulær repræsentation af tallet z. Tallet i kaldes den imaginære enhed, og har den specielle egenskab at i²=-1.
Punktet for z ligger i en vis afstand r, kaldet modulus, fra koordinatsystemets origo (skæringspunktet mellem reel og imaginær akse), og retningen fra origo til punktet for z danner en vis vinkel Φ, kaldet argumentet, med den reelle akse. Ved at anføre r og Φ har man den såkaldte polære repræsentation af tallet z, og det skrives $r \angle \Phi$

[redigér] Regneoperationer uden den imaginære enhed

Der findes regneregler der fastlægger hvordan man foretager forskellige regneoperationer på komplekse tal (givet på rektangulær form), svarende til dem man kan foretage på reelle tal. Dertil findes der for ethvert komplekst tal tallets såkaldt komplekst konjugerede.
Hvis det komplekse tal A har realdelen x_A og imaginærdelen y_A, dvs. A = x_A + y_A·i, så kan man beregne:

Regneoperation	Resultat
Regneoperation	Realdel	Imaginærdel
$\bar{A}$ , kompleks konjugerer til $A \,\!$	$x_A \,\!$	$-y_A \,\!$
$A^{-1} \,\!$ , reciprokke af $A \,\!$	$\frac{x_A}{x_A^2+y_A^2}$	$-\frac{y_A}{x_A^2+y_A^2}$

Der findes regneforskrifter der fastlægger hvordan man kan udføre de fire grundlæggende regnearter på A og et andet komplekst tal B = x_B + y_B·i:

Regneoperation	Resultat
Regneoperation	Realdel	Imaginærdel
$A + B \,\!$	$x_A + x_B \,\!$	$y_A + y_B \,\!$
$A - B \,\!$	$x_A - x_B \,\!$	$y_A - y_B \,\!$
$A \cdot B \,\!$	$x_A \cdot x_B - y_A \cdot y_B \,\!$	$x_A \cdot y_B + x_B \cdot y_A \,\!$
$\frac{A}{B}$	$\frac{x_A \cdot x_B + y_A \cdot y_B}{x_B^2+y_B^2}$	$\frac{y_A \cdot x_B - x_A \cdot y_B}{x_B^2+y_B^2}$

Har man to komplekse tal på polær form, nemlig $A = r_A \angle \Phi_A$ og $B = r_B \angle \Phi_B$ , gælder envidere:

Regneoperation	Resultat
Regneoperation	Modulus	Argument
$A \cdot B \,\!$	$r_A \cdot r_B \,\!$	$\Phi_A + \Phi_B \,\!$
$\frac{A}{B}$	$\frac{r_A}{r_B}$	$\Phi_A - \Phi_B \,\!$

[redigér] Regneoperationer med den imaginære enhed

For simple regneoperationer bliver beregninger med komplekse tal nøjagtig de samme, som hvis man gør brug af den imaginære enhed. Det gør regneoperationerne betragteligt meget simplere:

Sum:

A + B = (x A + i y A) + (x b + i y B) = (x A + x B) + i (y A + y B)

Differens:

A - B = (x A + i y A) - (x b + i y B) = (x A - x B) + i (y A - y B)

Produkt: $A \cdot B=(x_A+iy_A)\cdot(x_b+iy_B) = x_A x_B + i x_A y_B + i x_B y_A + i^2 y_A y_B$

= (x A x B - y A y B) + i (x A y B + x B y A)

Division: $\frac{A}{B} = \frac{x_A+iy_A}{x_b+iy_B}=\frac{(x_A+iy_A)(x_B-iy_B)}{(x_B+iy_B)(x_B-iy_B)}$

$= \frac{(x_A x_B + y_A y_B)+ i (- x_A y_B + x_B y_A)}{x_B^2+y_B^2} = \frac{x_A x_B + y_A y_B}{x_B^2+y_B^2} + i \frac{x_B y_A - x_A y_B}{x_B^2+y_B^2}$

Invers: $\frac{1}{x+iy} = \frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)} = \frac{x-iy}{x^2-ixy+ixy-i^2 y^2} = \frac{x-iy}{x^2+y^2} = \frac{x}{x^2+y^2} - i \frac{y}{x^2+y^2}$

Umiddelbart ser det mere kompliceret ud, men den eneste regneregel man skal huske er i²=-1.

[redigér] Anvendelser

Indenfor elektronik bruges komplekse tal til at modellere strømme, spændinger og "modstande": Hvis en vekselspænding repræsenteres ved det komplekse tal U, så beskriver modulus ("afstanden") til U vekselspændingens spidsværdi, mens argumentet til U ("vinklen") angiver vekselspændingens fase i forhold til en reference.

Fraktaler, for eksempel Juliamængderne og Mandelbrotmængden, dannes ved hjælp af komplekse tal.

Andengradsligninger kan have komplekse løsninger og løsning af tredjegradsligninger kræver beregninger med komplekse tal.

Faktisk garanterer algebraens fundamentalsætning at ethvert polynomium af grad n har n rødder i de komplekse tal (hvoraf nogle kan tænkes at være udelukkende reelle eller imaginære), hvis rødderne regnes med multiplicitet.

[redigér] Ligheder med og forskelle fra vektorer

Selv om addition og subtraktion af komplekse tal foregår på samme måde som for todimensionale vektorer, må de to ting ikke forveksles: Mens man kan foretage en lang række regneoperationer på komplekse tal, kan vektorer kun adderes og subtraheres, og dertil indgå i to forskellige former for vektorprodukt.