Tvinntölur

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Talnamengi í stærðfræði
	Náttúrlegar tölur
	Heiltölur
	Ræðar tölur
	Óræðar tölur
	Rauntölur
	Tvinntölur
	Fertölur
	Áttundatölur
	Sextándatölur

Tvinntölur eru í stærðfræði talnamengi, sem myndað er úr mengi rauntalna auk ferningsrótarinnar af -1, sem táknuð er með i. Þannig er tvinntalan z skilgreind sem z = x + iy, þar sem i er og y og x eru rauntölur. Mengi þetta er táknað með stafnum , og er það skilgreint með mengjaskilgreiningarhætti á eftirfarandi hátt:

Breyturnar x og y í tvinntölunni x + yi eru notaðar sem hnit í hnitakerfi tvinntalna, sem gjarnan er kallað tvinnsléttan. Er tvinntalan x+yi þá oft táknuð sem hnitið (x,y). Tvinnsléttan er í raun bara tvívíð talnalína þar sem að önnur víddin lýsir rauntölum, , en hin lýsir þvertölum, þ.e. þeim tölum sem fást með því að margfalda saman rauntölu og fastann . Tvinntalan x + yi er sögð vera á rétthyrndu formi.

Efnisyfirlit 1 Aðgerðir 2 Hlutar tvinntölu 3 Lengd tvinntalna 4 Rithættir tvinntalna 4.1 Pólhnit 4.2 Veldi

[breyta] Aðgerðir

Aðgerðir í mengi tvinntalna eru þær sömu og í rauntalnamenginu, en eru víðtækari að því leyti, að í eru allar margliðujöfnur með rauntölustuðlum leysanlegar og hafa jafnmargar lausnir og stig margliðunnar segir til um þ. e. a. s. að margliðujafna af stigi n hefur n lausnir í ). Einnig er hægt að draga hvaða rót sem vera skal af sérhverri rauntölu og ennfremur að reikna logra af sérhverri tölu nema af núlli. Ekkert af þessu er mögulegt í mengi rauntalna nema að sérstaklega vel standi á.

Helstu aðgerðirnar eru skilgreindar á eftirfarandi hátt, þar sem z = x₁ + y₁i og w = x₂ + y₂i :

• Samsemd: z = w þ.þ.a.a. x₁ = x₂ og y₁ = y₂
• Samlagning:
• Margföldun:
• Deiling:

• Margföldunarandhverfa: Ef zw = 1 eru tvinntölurnar sagðar (margföldunar)andhverfa hvor annarrar. Þá er:

eða

Ef z = x + yi er talan sögð vera samoka henni. Samoka tvinntölur hafa ýmsa áhugaverða eiginleika:

[breyta] Hlutar tvinntölu

Til þess að fá uppgefinn eingöngu raunhluta tvinntölunnar z = x + yi er notað fallið og er það skilgreint svo:

Fyrir þverhlutann er fallið notað, en skilgreining þess er:

Í stað og er oft ritað Re(z) og Im(z). Báðir rithættinir eru jafngildir þar sem Re stendur fyrir real og Im stendur fyrir imaginary. Sérstaka athygli skal vekja á því að gefur rauntöluna y, ekki þvertöluna yi.

[breyta] Lengd tvinntalna

Hægt er að nota algildisfallið til þess að fá uppgefna fjarlægð tvinntölu frá núllpunkti tvinnsléttunnar:

[breyta] Rithættir tvinntalna

[breyta] Pólhnit

Pólhnit eru á forminu , þar sem að r lýsir lengd punktsins frá miðpunkti, og θ lýsir horni punktsins frá raunásnum í jákvæða stefnu. Til þess að reikna tvinntölu yfir í pólhnit er notuð reglan

fyrir tvinntöluna x + yi

Til þess að reikna þetta til baka er svo reiknað:

Helsta ástæða þess að gott sé að breyta tvinntölum í pólhnit er sú að þá verður margföldun og deiling að hægðarleik, og jafnframt gildir regla De Moivres um tvinntölu í rauntöluveldi:

Margföldun og deiling virka þannig:

og frá margföldunarreglunni er hægt að draga veldisreiknireglu:

Veldareglan gildir jafnframt um brotin veldi (rætur), þannig að:

[breyta] Veldi

Hægt er að rita tvinntölur sem veldi af e, þ.e. e^z þar sem að z er tvinntala.

z = x + yi

Raunhluti tvinntölunnar er þá samsvarandi fallinu e^x (náttúrulega vísisfallið), en um þverhlutann gildir að

e^yi = cos(y) + isin(y)

Þar sem að allar rétthyrndar tvinntölur má líka rita í pólhnitum, þannig að

má segja að:

z = x + iy = (r,θ) = re^iθ

Margföldun tvinntalna í þessu formi er þannig að:

Hægt er að leiða reglu Eulers út frá þessu: