מתמטיקה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

לשער לנושאים, אישים ומאמרים במתמטיקה, ראו פורטל המתמטיקה.

מתמטיקה מוגדרת לעיתים קרובות כלמידה ואפיון הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב. מנקודת מבט מודרנית, זהו השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רבים מהמבנים שנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

תוכן עניינים 1 תולדות המתמטיקה 2 ענפי המתמטיקה 3 מעמדה התרבותי והפילוסופי של המתמטיקה 4 לקריאה נוספת 5 קישורים חיצוניים

[עריכה] תולדות המתמטיקה

ערך מורחב – היסטוריה של המתמטיקה

ראשית המתמטיקה בשחר האנושות. חפירות ארכיאולוגיות הוכיחו שעוד לחכמי בבל ומצרים היה ידע נרחב במתמטיקה בתחומים כמו: משוואות ריבועיות, שורש ריבועי, שטחים של צורות מישוריות ושימוש בטבלאות שונות.

התפתחות המתמטיקה בעת העתיקה הגיעה לשיאה ביוון העתיקה בזכות מתמטיקאים מפורסמים כמו אוקלידס וארכימדס. בימי הביניים היה עיקר ההתפתחות על ידי הערבים, שפיתחו את האלגברה והטריגונומטריה. במאה ה-17 הייתה פריחה של ענפים שונים במתמטיקה, כגון גאומטריה אנליטית וחשבון נגזרות ואינטגרלים, ששימשו הזנק לענפים מדעיים רבים. במאה ה-19 פותחה תורת הקבוצות. במאה ה-20 המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה והושגו הישגים רבים, ביניהם פתירת רוב הבעיות שבזמנו הוגדרו כ "פתוחות" (23 הבעיות של הילברט). כמו כן תחום הלוגיקה זכה להישגים בולטים במאה זו, ונולד תחום מתמטי חדש, מדעי המחשב.

[עריכה] ענפי המתמטיקה

היסטורית, הדיסציפלינות המתמטיות העיקריות נבעו מהצורך לבצע חישובים במסחר, במדידת אדמה וחיזוי ארועים אסטרונומיים. שלושת צרכים אלו מחלקים באופן גס את העיסוק המתמטי כחקר מבנה, מרחב ושינוי.

חקר המבנה מתחיל עם מספרים, קודם כל המספרים הטבעיים והשלמים והפעולות הבסיסיות שניתן לבצע ביניהם, אשר נלמדות במסגרת האריתמטיקה. התכונות המורכבות יותר של המספרים השלמים נלמדות בתורת המספרים. חקר הדרכים לפתרון משוואות מוביל לתחום האלגברה המופשטת, שעוסקת במבנים אלגבריים, ובהם חוגים ושדות, מבנים שמכלילים את התכונות המאפיינות את המספרים והפעולות המוכרות ביניהם. רעיון הוקטור, שהוא בעל משמעות חשובה בפיזיקה, מוכלל למרחבים וקטוריים ונלמד בתחום האלגברה הלינארית.

לימוד המרחב מתחיל בגאומטריה, קודם בגאומטריה אוקלידית וטריגונומטריה של מרחבים תלת ממדיים מוכרים, אך לאחר מכן מוכלל בגאומטריות לא-אוקלידיות שלהן תפקיד מרכזי בתורת היחסות הכללית. מספר שאלות עתיקות על בנייה בסרגל ומחוגה נפתרו לבסוף בתורת גלואה. התחומים המודרניים יותר של גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית מכלילים את הגאומטריה לכיוונים שונים: גאומטריה דיפרנציאלית שמה דגש על מערכות צירים, חלקות (Smoothness) וכיוון, בעוד שבגאומטריה אלגברית העצמים הגאומטריים מתוארים כפתרונות למשוואות פולינומיאליות. תורת החבורות עוסקת באופן מופשט ברעיון הסימטריה ומקשרת בין חקר המבנה וחקר המרחב. טופולוגיה מקשרת בין חקר המרחב לחקר השינוי בהתמקדות ברעיון הרציפות. באנליזה וקטורית מנתחים את המרחב התלת-ממדי באמצעות כלים של אלגברה לינארית וחשבון אינפינטיסמלי כאשר הגדלים הנחקרים הם וקטורים מרחביים. באמצעות חשבון טנזורים נחקרות סימטריות והתנהגותם של וקטורים תחת סיבובים.

תיאור והבנת שינוי במנות מדודות הוא צורך נפוץ במדעי הטבע, וחשבון אינפיניטסימלי פותח ככלי שימושי לביצוע משימה זו. המושג העיקרי המשמש לתיאור מנה משתנית הוא הפונקציה. בפתרון בעיות רבות אנו מובלים באופן טבעי למדידת היחס בין גודל לבין קצב השינוי שלו, והדרכים למדידה זו נלמדות בתחום המשוואות הדיפרנציאליות. המספרים המשמשים לתיאור כמויות רציפות הם המספרים הממשיים, ולימוד התכונות שלהם ושל פונקציות ממשיות נקרא אנליזה ממשית. מסיבות אחדות נוח להכליל את מושג המספר למספרים מרוכבים אשר נלמדים באנליזה מרוכבת. אנליזה פונקציונלית מתמקדת במרחבים (בדרך כלל חד ממדיים) של פונקציות, אשר מהווים גם את היסוד למכניקת הקוונטים. תופעות רבות בטבע ניתנות לתיאור באמצעות מערכות דינמיות, ותורת הכאוס עוסקת בעובדה שרבות ממערכות אלה פועלות בצורה בלתי ניתנת לחיזוי אך דטרמיניסטית.

מושג נוסף, הנחקר במקביל לרעיונות אלה, הוא מושג הגודל. בבסיסם של תחומים רבים במתמטיקה מצויה אבחנה בסיסית בין מערכות 'קטנות' ל'גדולות'. הדוגמה היסודית היא האבחנה בין קבוצה סופית לקבוצה אינסופית (בת מנייה או שאינה אפילו בת מנייה). בטופולוגיה ואנליזה העצמים הקטנים הם קבוצות קומפקטיות; בתורת המידה אפשר להשוות בין קבוצות על-פי המידה שלהן, ואז קבוצות בעלות מידה סופית עשויות להחשב קטנות. באלגברה, מבנה אלגברי קטן הוא כזה שיש לו ממד סופי, או שהוא נוצר סופית.

לחקר יסודות המתמטיקה פותחו תורת הקבוצות, לוגיקה מתמטית, תורת המודלים ותורת ההוכחות.

רעיון המחשב נהגה על ידי מתמטיקאים שעסקו בחקר הלוגיקה: בשאלה מה פרוש הביטוי "ניתן להוכיח" ומה פרוש הביטוי "ניתן לחשב". התשובות המתמטיות לשאלות אלה יושמו בהמצאת המחשב האלקטרוני, ויישום זה התפתח והוביל ליצירת תחומי מחקר מתמטי חדשים כגון חישוביות, סיבוכיות, תורת האינפורמציה, ותורת האינפורמציה האלגוריתמית. רבים מתחומים אלה נלמדים היום במסגרת מדעי המחשב. מתמטיקה בדידה הוא שם נפוץ לאותם מענפי המתמטיקה השימושיים במדעי המחשב.

תחום חשוב של מתמטיקה שימושית הוא הסטטיסטיקה, המשתמשת בתורת ההסתברות ככלי לתיאור, ניתוח, וחיזוי תופעות פיסיות רבות בכל תחומי המדע. אנליזה נומרית חוקרת את הדרכים לפתרון יעיל של בעיות חישוביות.
חקר ביצועים הינו תחום יישומי נוסף של המתמטיקה המאפשר מציאת פתרונות אופטימליים בבעיות עם משאבים מוגבלים או החלטות מיטביות בהתאם למידע הקיים. התחום נמצא בשימוש בכלכלה, ניהול, רפואה ועוד.

[עריכה] מעמדה התרבותי והפילוסופי של המתמטיקה

המתמטיקה נקראת בפי כל "מלכת המדעים" למרות שאיננה חלק ממדעי הטבע (מאחר והיא לא מתייחסת לאוביקט חיצוני כלשהו בעולם הממשי, אלא רק דנה במבנים המוגדרים על ידי המוח האנושי של המתמטיקאים). התפישה המקובלת היום שהמתמטיקה היא השפה של המדעים המדויקים ושהרבה מבנים שנחקרים במתמטיקה אפשר להשית על מבנים פיזיקליים בעולם הממשי. תפישת המתמטיקה כשפת הפיזיקה, או אפילו כשפתו של אלוהים, היא עתיקה ושורשיה עוד ביוון העתיקה (האסכולה הפיתגורית) ובתקופת הרנסנס. הפיזיקאי גלילאו גליליי אמר:

"הפילוסופיה - הרי היא כתובה בספר הגדול הפרוש מאז ומעולם לנגד עינינו - כוונתי ליקום - אך איננו יכולים להבין אם איננו לומדים את השפה ותופשים את הסמלים שבהם היא כתובה. שפה זו היא המתמטיקה."

ואילו אלברט איינשטיין תהה "כיצד יתכן שהמתמטיקה, שאיננה אלא פרי מחשבת האדם, ללא תלות בניסיון ובהסתכלות, מסתגלת כל כך יפה למציאות?"

מעמדה הייחודי של המתמטיקה העסיק רבות פילוסופים של המדע, בייחוד את עמנואל קאנט, ברטראנד ראסל דייוויד הילברט וקורט גדל שתהו על מעמדן של טענות המתמטיקה וכיצד נהיה בטוחים בודאותן. תחום הפילוסופיה של המתמטיקה התפתח במטרה לנסות ולספק תשובות על שאלות אלו.

המתמטיקה במאה האחרונה היא סמל לחוכמה, שכן היא תורה אלגנטית שמבוססת על הגיון צרוף בלבד. בתרבות הפופולרית (קולנוע, קומיקס וכו) אנשים ומדענים גאונים מתוארים בדרך כלל כגאוני מתמטיקה שרושמים על הלוח נוסחאות מתמטיות ארוכות ולא ברורות (אשר ברוב המקרים אינן אומרות דבר). לעתים קרובות גם מקושרת גאונות מתמטית עם מחלות נפש מהן סובל הגאון.

בתיכונים, מעמדה של המתמטיקה כיום דומה לזה של הלטינית במאה שעברה. מקצוע זה נחשב לאחד המקצועות הקשים בתיכון, ולאחד מהשנואים על ידי התלמידים. זהו המקצוע העיקרי שמשמש לניבוי הצלחה של תלמיד במוסדות להשכלה גבוהה: תלמיד טוב במתמטיקה ייחשב לחכם ויופנה לתחום ה"ריאלי" (מדעים) ואילו תלמיד חלש במתמטיקה ייחשב לתלמיד בינוני ויופנה לתחום ה"הומני" (מדעי הרוח). כיום, סטיגמה זאת פחות מקובלת עקב ההבנה שאינטליגנציה מתמטית שונה מאינטליגנציה מילולית ושתלמיד בעל גאונות בתחום מדעי הרוח יכול להיות גרוע במתמטיקה ואין זה הופך אותו ללא-חכם. למרות זאת, שליטה במתמטיקה עדיין חשובה לכל הלומדים תחומים ריאלים, שכן היא מהווה את אחד הכלים הבסיסיים שבהם משתמשים בתחומים אלו.

בישראל ישנו עדיין זעזוע מתוצאות מבחנים בינלאומיים שהראו ירידה בציונים של תלמידי ישראל במתמטיקה ובמדעים. כמו כן, שיטת ההוראה הנהוגה בישראל מתמקדת בהוראת האספקטים הטכניים יותר של המתמטיקה, ולעתים קרובות התלמידים לא מקבלים תשובות לשאלה "למה" אלא רק לשאלה "איך". כתוצאה מכך הדימוי המקובל של המתמטיקה הוא כמקצוע טכני שעוסק בעיקר בחישובים ומצריך מיומנויות חישוביות בלבד. הוראת המתמטיקה בישראל, ובפרט שיטת הבדידים להוראות המתמטיקה לתלמידי הכיתות הנמוכות, סופגת ביקורת חריפה מצד מתמטיקאים ואנשי חינוך.

[עריכה] לקריאה נוספת

• דויד ברגמיני, מתמטיקה, הספריה המדעית של לייף, ספריית מעריב, 1970.
• אברהם הלוי פרנקל, מבוא למתמטיקה, הוצאת מסדה.
• אליעזר שישא, מתמטיקה ומתמטיקאים, הוצאת מסדה, 1977.
• סיימון סינג, "המשפט האחרון של פרמה", הוצאת ידיעות אחרונות 2003

[עריכה] קישורים חיצוניים

• אלף אפס - מאמרים ושעשועי מתמטיקה
• ארכיון ההיסטוריה של המתמטיקה של מקטיוטור מקור מידע על עקרונות מתמטיים, תולדות המתמטיקה ומתמטיקאים (באנגלית)
• Mathworld - אנציקלופדיה מקיפה למתמטיקה (באנגלית)
• MathDaily אנציקלופדיה לנושאים שונים במתמטיקה (באנגלית)
• הומור של מתמטיקאים, אתר האוסף בדיחות, אנקדוטות, משחקי מילים וחמשירים בנוגע למתמטיקה ומתמטיקאים (באנגלית)