복소수

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수학의 수 체계
기초
자연수 {1,2,3...} 소수 {2,3,5,7,...} 정수 {...,-1,0,1,...} 유리수 {2/3,-4/7,...} 무리수 실수() 허수 복소수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 16원수 Superreal 초실수 Surreal
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 p진수 정수열 수학 상수 i 허수단위 π 파이 ≈ 3.14159 26535 ... e (상수) ≈ 2.71828 (∉ ) ∞ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β* - δ - α - C2 - M1 - B2 - B4 - Λ - K - K - K - B´L - μ - EB - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

복소수 (複素數)는 실수의 확장된 개념으로, 복소수를 계수로 가지는 상수함수가 아닌 다항함수는 항상 근을 가지는 성질을 갖는 수이다. 복소수에는 허수부 단위인 수 i가 있어서 식 i² = - 1을 만족한다, 즉, i는 − 1의 제곱근이다. 모든 복소수는 a + ib 형식으로 나타내어진다. 여기에서 a와 b는 각각 그 복소수의 실수부와 허수부라고 불리우는 실수들이다.

두 복소수의 덧셈과 곱셈은

이다.

복소수는 삼차 다항함수의 영점을 나타내는 공식에 처음으로 나타났다. 수학에서 "복소"라는 단어가 쓰여질 때는, 다루는 대상의 기본 체가 복소수 체임을 의미한다. 예를 들면 복소행렬, 복소다항함수, 복소 리대수 등이 있다.

[편집] 역사

역사적으로 음수의 제곱근이 최초로 나타난 것은, 서기 1세기 그리스의 수학자이자 발명가인 알렉산스리아의 헤론이 피라미드의 절단에 대한 부피를 계산할 때이다. 그것들이 좀 더 명확히 나타난 것은 타르탈리아나 제롤라모 카르다노와 같은 16세기 이탈리아 수학자들에 의하여 삼차와 사차 다항함수들의 근들에 대한 공식들이 발견될 때이다. 그 당시의 수학자들은 이 공식들에서 실수해만을 구하려고 하였지만 그 과정에서 음수의 제곱근이 다루어지는 과정이 필요함을 곧 알 수 있었다. 그 당시에는 음수에 대한 이해도 부족했으므로 복소수는 수로서 인정되지 못했다.

17세기에 르네 데카르트에 의하여 처음으로 "허수"라는 용어가 사용되었다. 18세기에 드 므와브르와 레온하르트 오일러의 복소수에 대한 업적이 있었다. 드 므와부르의 공식이란 유명한 공식에 드 므와부르의 업적이 나타나 있다:

그리고 복소해석학에서의 오일러의 공식에서 오일러의 업적을 볼 수 있다:

.

복소수의 존재성에 대해서는 1799년 카스파르 베셀이 복소수를 기하적인 표현으로 나타냄으로서 비로소 완전히 받아 들여 졌다; 이것은 수년후에 카를 프리드리히 가우스에 의하여 다시 증명되었고 또한 널리 알려 져서, 결국 복소수의 이론이 매우 중요한 수의 확장임이 받아 들여 졌다. 그러나 복소수의 기하학적 표현에 대한 생각은 1685년 존 왈리스의 <De Algebra tractatus>에 나타났었다.