Pytagorova veta

Z Wikipédie

Ilustrácia Pytagorovej vety.

Pytagorova veta je základná teoréma euklidovskej geometrie. Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto:

obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami.

Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou

a 2 + b 2 = c 2

kde $a$ , $b$ sú dĺžky odvesien a $c$ je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka.

Obsah

1 Dejiny
2 Zovšeobecnenie Pytagorovej vety
- 2.1 Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami
- 2.2 Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Hilbertovom priestore
3 Dôkazy Pytagorovej vety
4 Pytagorejské čísla
5 Externé odkazy

[úprava] Dejiny

Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samosu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne , Egypte).

[úprava] Zovšeobecnenie Pytagorovej vety

[úprava] Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami

Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod.) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou.

Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti $k$ je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca $k$ -násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou $k$ a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie.

[úprava] Zovšeobecnenie na tri všeobecné vektory v Hilbertovom priestore

Pytagorovu vetu je možné zovšeobecniť na ľubovolný vektorový priestor so skalárnym súčinom (t. j. Hilbertov priestor). Trojuholníkom sú v tomto prípade myslené tri vektory $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{c}$ , pre ktoré platí

$\mathbf{c} = \mathbf{b} - \mathbf{a}\qquad\mathbf{a} \perp \mathbf{b}.$

Potom platí podobný vzťah normami týchto vektorov, ako v prípade rovinného trojuholníka:

$\|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{c}\|^2,$

kde $\|\cdot \|$ je norma príslušného vektorového priestoru. Z tejto všeobecnejšej formulácie je možné odvodiť aj pôvodnú rovinnú verziu vety. Ak rovinu chápeme ako dvojrozmerný euklidovský priestor s obyčajným skalárnym súčinom a v trojuholníku $A B C$ s pravým uhlom pri vrchole $C$ označíme

$\mathbf{a} = B - C,\ \ \mathbf{b} = A - C, \ \ \mathbf{c} = A - B,$

potom vyplýva pôvodná Pythagorova veta zo vzťahu noriem vektorov (treba si uvedomiť, že v tomto prípade je norma vektoru len dĺžkou zodpovedajúcej strany).

[úprava] Dôkazy Pytagorovej vety

Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich.

[úprava] Dôkaz číslo 1

K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi.

Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou $a + b$ je možné zložiť dvomi spôsobmi (pozri obrázok):

zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami $a$ a $b$
zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou $c$ .

Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

[úprava] Dôkaz číslo 2

Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc.

Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi:

Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka $a$ a $b$ . Pre jeho obsah teda platí:

S = (a + b)(a + b) = (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou $c$ . Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov ( $\begin{matrix}4\frac{ab}{2}=2ab\end{matrix}$ ) a bieleho štvorca so stranou c ( $c 2$ ). Obsah celého obrazca je daný vzorcom

S = 2 a b + c 2

Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý švorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí

a 2 + 2 a b + b 2 = 2 a b + c 2

a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare

a 2 + b 2 = c 2

[úprava] Dôkaz číslo 3

K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov.

Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly ( $D C B$ a $D A C$ , ktorý sa rovná uhlu $B A C$ ) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

[úprava] Dôkaz podobnosti (rovnosti uhlov)

Súčet vnútorných uhlov každého trojuholníka je 180° ( $π$ $rad$ ). Zároveň platí, že v pravouhlom trojuholníku musí byť práve jeden uhol pravý (t. j. 90°; pozri obrázok):

$\mathit{|BAC| + |ACB| + |CBA|} = 180^\circ$
$\mathit{|CBD| + |BDC| + |DCB|} = 180^\circ$
$\mathit{|DAC| + |ACD| + |CDA|} = 180^\circ$

z uvedeného vyplýva, že

$\mathit{|BAC| + |CBA|} = 90^\circ$
$\mathit{|CBD| + |DCB|} = 90^\circ$
$\mathit{|DAC| + |ACD|} = 90^\circ$

Z 1. a 3. rovnice vyplýva (uhly $B A C$ a $D A C$ sú zhodné), že platí | $C B A$ | = | $A C D$ |. Ak $C B A$ dosadíme do 3. rovnice na miesto $A C D$ , z porovnania s 2. rovnicou vyplynie, že platí | $B C D$ | = | $D A C$ |. Trojuholníky sú si teda podobné.

[úprava] Samotný dôkaz

Skrátene je popísaný už v samotnom obrázku. Pri podobnosti trojuholníkov platí, že

$a/p = c/a \quad \Rightarrow\quad a^2/p = c \quad \Rightarrow\quad a^2 = cp$

a rovnako platí aj

$b/q = c/b\quad\Rightarrow\quad b^2/q = c\quad \Rightarrow \quad b^2 = cq.$

Z oboch rovníc potom vyplýva, že

$a^2 + b^2 = cp + cq\quad \Rightarrow\quad a^2 + b^2 = c(p+q).$

Zo spomínaného obrázka vyplýva, že $c = p + q$ , čo po dosadení dá:

a 2 + b 2 = c 2 .

[úprava] Pytagorejské čísla

Viac informácií v samostatnom článku Pytagorejské čísla.

Pytagorejské čísla tvoria trojice prirodzených čísel $a$ , $b$ a $c$ , pre ktoré platí $a 2 + b 2 = c 2$ . Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.