Pythagorova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Pythagorova věta: Součet ploch čtverců nad odvěsnami (modrá plus červená plocha) se rovná ploše čtverce nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníka (fialová plocha).

Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v rovině. Umožňuje dopočítat délku třetí strany takového trojúhelníka, pokud jsou známy délky dvou zbývajících stran.

Věta zní: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (nejdelší stranou) pravoúhlého rovinného trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami (dvěma kratšími stranami).

Formálně Pythagorovu větu vyjadřuje tato rovnice:

$a^2 + b^2 = c^2, \,$

kde písmeno c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou označeny jako a a b.

[editovat] Historie

Věta byla pojmenována podle Pythagora, jenž ji v 6. století př. n. l. objevil pro Evropu, resp. starověké Řecko. Pravděpodobně však byla známa i v jiných starověkých civilizacích dávno předtím (v Číně, částečně např. v Egyptě).

[editovat] Příklad

Obdélníkové náměstí má délky stran 30 a 40 metrů. Kolik metrů bude měřit cesta, která povede po úhlopříčce náměstí rovně z jednoho rohu do druhého?

Řešení: Představme si jeden ze dvou trojúhelníků, na něž cesta náměstí rozdělí.

Součet čtverců délek jeho odvěsen (stran náměstí) je 30² m² + 40² m² = 900 m² + 1600 m² = 2500 m².

Toto číslo se podle Pythagorovy věty zároveň rovná čtverci přepony trojúhelníka. Stačí je tedy odmocnit, a dostaneme délku přepony. Odmocnina z 2500 m² je 50 m, a to je hledaná délka úhlopříčné cesty.

[editovat] Zobecnění Pythagorovy věty

[editovat] Nahrazení čtverců jinými plošnými obrazci

Čtverce lze ve formulaci věty zaměnit jakýmikoliv jinými obrazci (kružnicí, obdélníkem, trojúhelníkem, pětiúhelníkem) za předpokladu, že jsou si navzájem podobné a jejich šířka je úměrná délce příslušné strany trojúhelníka. Součet obsahů těchto obrazců nad odvěsnami bude opět shodný s obsahem obrazce nad přeponou.

Že to vyplývá z formulace původní věty se čtverci nad stranami trojúhelníka, si uvědomíme, když uvážíme, že obsah každého z obrazců je díky platnosti předpokladů úměrný obsahu čtverce nad danou stranou a konstanta úměrnosti k je vždy táž díky vzájemné podobnosti obrazců i čtverců. Pokud dosadíme za plochu čtverců do vzorce k-násobek plochy obrazce, lze rovnici vykrátit číslem k a dostaneme hledané zobecnění.

[editovat] Zobecnění na tři obecné vektory v Hilbertově prostoru

Pythagorovu větu lze zobecnit na jakýkoliv vektorový prostor se skalárním součinem (Hilbertův prostor). Tojúhelníkem v tomto případě myslíme tři vektory a, b, c takové, že c = b - a a že a a b jsou na sebe kolmé. Pak platí podobný vztah mezi normami těchto vektorů, jako v případě rovinného trojúhelníku:

$\|\mathbf{a}\|^2 + \|\mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{c}\|^2$ ,

kde $\|\cdot \|$ značí normu na daném vektorovém prostoru.

Z této obecnější formulace lze odvodit i původní rovinnou verzi věty. Pokud rovinu chápeme jako 2-rozměrný Euklidův prostor s obyčejným skalárním součinem a v trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C označíme a = B - C, b = A - C a c = A - B (= b - a), plyne původní Pythagorova formulace ze vztahu norem vektorů, uvědomíme-li si, že v tomto případě je norma vektoru pouze délka odpovídající strany.

[editovat] Zobecnění na více dimenzí

Větu lze zobecnit i na více než dvě dimenze. Například pokud umocníme délku úhlopříčky kvádru (např. cihly) na druhou, bude se toto číslo rovnat součtu čtverců dělek všech tří rozměrů kvádru. Analogické vztahy platí i v euklidovských prostorech vyšších rozměrů.

Matematicky řečeno je zde čtverec délky (normy) vektoru roven součtu čtverců jeho souřadnic v libovolné ortonormální bázi. Tuto představu lze zobecnit i na prostory nekonečné dimenze.

[editovat] Kosinová věta - zobecnění na jiné než pravé úhly

Není-li úhel mezi stranami a, b pravý, je třeba jeho velikost γ zavést do vztahu v rámci dalšího sčítance:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma \,$

což je formulace takzvané kosinové věty. Důkaz kosinové věty lze podat rozdělením trojúhelníka na dva pravoúhlé.

[editovat] Důkazy Pythagorovy věty

Důkazů Pythagorovy věty existuje velmi mnoho, uvádí se až 300. Zde je několik z nich.

[editovat] Důkaz č. 1

Jedná se o grafický důkaz. Čtverec o straně a + b můžeme složit dvěma způsoby (viz obrázek):

ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a dvou čtverců délách stran a a b
ze 4 pravoúhlých trojúhelníků a jednoho čtverce o straně c

Z rovnosti obsahu čtverce při obou způsobech složení pak plyne i Pythagorova věta.

[editovat] Důkaz č. 2

Jde jen o zápis Důkazu č. 1 pomocí rovnic.

Obsah celého čtverce lze vyjádřit dvěma způsoby takto (jen pravý obrázek z pohledu čtenáře):

Strana čtverce je složena ze stran trojúhelníku $a$ i $b$ . Pro obsah tedy platí:

$S = (a + b)\cdot(a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2$

Čtverec je tvořen 4 modrými pravoúhlými trojúhelníky a bílým čtvercem se stranou $c$ uprostřed. Obsah celého čtverce je tedy součtem obsahu 4 pravoúhlých trojúhelníků ( $4 a b / 2 = 2 a b$ ) a bílého čtverce uprostřed se stranou $c$ ( $c\cdot c = c^2$ ).

S = 2 a b + c 2

Protože se jedná vždy o tentýž velký čtverec, musí se jeho obsah spočtený oběma způsoby rovnat, a tedy

a 2 + 2 a b + b 2 = 2 a b + c 2

z čehož dostáváme tvrzení

a 2 + b 2 = c 2

[editovat] Důkaz č. 3

Lze se snadno přesvědčit, že pokud jsou zeleně vyznačené úhly (DCA a DAC - jenž se rovná BAC) shodné, jsou si trojúhelníky ABC, CBD a ACD navzájem podobné (velikosti jejich stran jsou ve stejném poměru, jejich úhly jsou stejně velké).

[editovat] Důkaz rovnosti úhlů

(a tedy podobnosti trojúhelníka):

Součet úhlu trojúhelníka musí být 180°.

V každém trojúhelníku je jeden z úhlů pravý (má 90°).

Platí tedy:

1. BAC + ACB(90°) + CBA(CBD) = 173°

2. CBD + BDC(90°) + DCB = 180°

3. DAC + ACD + CDA(90°) = 180°

z toho vyplývá, že:

1. BAC(DAC) + CBA(CBD) = 90°

2. CBD + DCB = 90°

3. DAC(DAC) + ACD = 90°

Z 1. a 3. rovnice vyplývá (BAC a DAC jsou si rovny!), že CBA(CBD) = ACD.

Pokud CBA (stejný jako CBD) dosadíme do 3. rovnice místo ACD, ze srovnání s 2. rovnicí

2. CBD + DCB = 90°

3. DAC + CBA(ACD,CBD) = 90°

pak jasně vyplývá, že:

CBD = DAC

Trojúhelníky si jsou podobné.

[editovat] Vlastní důkaz

Důkaz je zkráceně popsán v obrázku samotném.

Při podobnosti trojúhelníků platí, že

a/p = c/a //.a

a²/p = c // .p (odstranění zlomku)

a² = cp

b/q = c/b // .b - (odstranění prvního zlomku)

b²/q = c // . q (odstranění druhého zlomku)

b² = c.q

z obou rovnic vyplývá, že

a² + b² = c.p + c.q

a² + b² = c(p + q)

p + q je, jak je vidět z obrázku vlastně c, z toho vyplývá, že

a² + b² = c.c = c²

[editovat] Pythagorejská čísla

Pythagorejská čísla tvoří trojice přírozených čísel $a, b, c$ takových, že platí $a 2 + b 2 = c 2$ . Jsou to tedy přirozená čísla vyhovující Pythagorově větě. Pythagorejská čísla jsou např. 3,4 a 5. Pythgorejská čísla lze vytvořit podle následující věty:

Čísla $a, b, c$ jsou pythagorejská právě tehdy, když jsou vyjádřit ve tvaru $a=x^2-y^2,\ b=2xy,\ c=x^2+y^2$ pro nějaká přirozená čísla $x, y$ s vlastností $x > y$ .