Теорема Пифагора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Содержание

1 Теорема
2 Доказательство
3 Обобщения
4 История
5 См. также
6 Ссылки

[править] Теорема

Теорема звучит следующим образом:

Во всяком прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b, получаем следующее равенство:

$a^2 + b^2 = c^2.\,$

Таким образом, теорема Пифагора устанавливает соотношение, позволяющее определить сторону прямоугольного треугольника по двум другим. Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов, устанавливающей соотношение между сторонами произвольного треугольника.

Также верно обратное утверждение (называемое теоремой обратной теореме Пифагора):

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой что a² + b² = c², существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

[править] Доказательство

Известно более ста доказательств теоремы Пифагора. Ниже приведено доказательство основанное на теореме существования площади фигуры:

1) Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.

2) Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов $90^\circ$ , а развернутый угол — $180^\circ$ .

3) Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площаде квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

$(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2;$

$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2;\frac{}{}$

$c^2=a^2+b^2;\frac{}{}$

Что и требовалось доказать.

[править] Обобщения

В случае ортогональной системы векторов $\{v_k\}\frac{}{}$ имеет место равенство, также назваемое теоремой Пифагора:

$\sum_{k=1}^{n} \|v_k \|^2 = \left\|\sum_{k=1}^{n} v_k \right\|^2.$

Если $\{v_k\}\frac{}{}$ — это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида — и означает, что длина вектора есть корень корень квадратный из суммы квадратов его компонентов.

Аналог этого равенства в случае бесконечной системы вектров носит название равенства Парсеваля.

[править] История

Первоначально теорема устанавливала соотношения между площадями квадратов, построенных на гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника: квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.